Упр.27.57 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Решите уравнение:

1. $$\sin 2x+2\sin x=2-2\cos x$$;
2. $$4\sin 2x+8(\sin x-\cos x)=7$$.

а) $$4\sin^2 x+\sin^2 2x=3$$

Используем формулы $$\sin^2 x=\dfrac{1-\cos 2x}{2}$$ и $$\sin^2 2x=1-\cos^2 2x$$:

$$4\cdot \frac{1-\cos 2x}{2}+\left(1-\cos^2 2x\right)=3$$

$$2-2\cos 2x+1-\cos^2 2x=3$$

$$\cos^2 2x+2\cos 2x=0$$

$$\cos 2x\left(\cos 2x+2\right)=0$$

Отсюда:

$$\cos 2x=0$$

или

$$\cos 2x=-2.$$

Второе уравнение решений не имеет, так как $$\cos 2x\in[-1;1].$$

Из первого уравнения:

$$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

При условии $$|x|<4$$ получаем:

$$x\in\left\{-\frac{5\pi}{4},-\frac{3\pi}{4},-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{4}\right\}.$$

б) $$4\cos^2 2x+8\cos^2 x=7$$

Преобразуем $$\cos^2 x=\dfrac{1+\cos 2x}{2}$$:

$$4\cos^2 2x+8\cdot \frac{1+\cos 2x}{2}=7$$

$$4\cos^2 2x+4+4\cos 2x=7$$

$$4\cos^2 2x+4\cos 2x-3=0.$$

Положим $$y=\cos 2x$$. Тогда

$$4y^2+4y-3=0.$$

$$D=4^2-4\cdot 4\cdot(-3)=16+48=64.$$

$$y_{1,2}=\frac{-4\pm 8}{8}.$$

Получаем:

$$y_1=\frac12,\qquad y_2=-\frac32.$$

Так как $$\cos 2x\in[-1;1],$$ значение $$-\dfrac32$$ не подходит. Значит,

$$\cos 2x=\frac12.$$

Тогда

$$2x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

При условии $$|x|<4$$ получаем:

$$x\in\left\{-\frac{7\pi}{6},-\frac{5\pi}{6},-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6},\frac{7\pi}{6}\right\}.$$

Ответ

а) $$x\in\left\{-\frac{5\pi}{4},-\frac{3\pi}{4},-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{4}\right\};$$

б) $$x\in\left\{-\frac{7\pi}{6},-\frac{5\pi}{6},-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6},\frac{7\pi}{6}\right\}.$$