Упр.27.56 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Найдите корни уравнения, удовлетворяющие неравенству $$|x|<4$$:
   а) $$4\sin^2 x+\sin^2 2x=3$$;
   б) $$4\cos^2 2x+8\cos^2 x=7$$.

Решим уравнения и оставим только те корни, для которых $$|x|<4.$$

а)

$$4\sin^2 x+\sin^2 2x=3$$
$$4\sin^2 x+4\sin^2 x\cos^2 x=3$$
$$4\sin^2 x(1+\cos^2 x)=3.$$

Положим $$t=\sin^2 x.$$ Тогда $$\cos^2 x=1-t,$$ и

$$4t(1+1-t)=3$$
$$4t(2-t)=3$$
$$4t^2-8t+3=0.$$

$$t=\frac{8\pm\sqrt{64-48}}{8}=\frac{8\pm4}{8}.$$

Получаем:

$$t_1=\frac{3}{2} \quad \text{(не подходит)}, \qquad t_2=\frac{1}{2}.$$

Значит,

$$\sin^2 x=\frac{1}{2}, \qquad \sin x=\pm \frac{\sqrt2}{2}.$$

Отсюда

$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}, \qquad n\in\mathbb Z.$$

С учётом условия $$|x|<4$$ получаем:

$$x\in\left\{-\frac{7\pi}{4},-\frac{5\pi}{4},-\frac{3\pi}{4},-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{4},\frac{7\pi}{4}\right\}.$$

б)

$$4\cos^2 2x+8\cos^2 x=7.$$

Используем формулу $$\cos 2x=2\cos^2 x-1.$$ Обозначим $$t=\cos^2 x.$$ Тогда

$$4(2t-1)^2+8t=7.$$

$$4(4t^2-4t+1)+8t=7$$
$$16t^2-8t-3=0.$$

$$t=\frac{8\pm\sqrt{64+192}}{32}=\frac{8\pm16}{32}.$$

Получаем:

$$t_1=\frac{3}{4}, \qquad t_2=-\frac{1}{4}\ \text{(не подходит)}.$$

Значит,

$$\cos^2 x=\frac{3}{4}, \qquad \cos x=\pm \frac{\sqrt3}{2}.$$

Отсюда

$$x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

С учётом условия $$|x|<4$$ получаем:

$$x\in\left\{-\frac{7\pi}{6},-\frac{5\pi}{6},-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6},\frac{7\pi}{6}\right\}.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z,\ |x|<4.$$
б) $$x=\pm\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z,\ |x|<4.$$