Упр.27.55 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

• а) $$\sin^2 2x=1$$; б) $$\cos^2\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{3}{4}$$; в) $$\sin^2\left(2x-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{3}{4}$$; г) $$\cos^2\left(3x+\frac{\pi}{3}\right)=1$$.

а) $$1-\cos x=2\sin\frac{x}{2}.$$

Используем формулу $$1-\cos x=2\sin^2\frac{x}{2}.$$ Тогда

$$2\sin^2\frac{x}{2}=2\sin\frac{x}{2}$$

$$\sin^2\frac{x}{2}-\sin\frac{x}{2}=0$$

$$\sin\frac{x}{2}\left(\sin\frac{x}{2}-1\right)=0.$$

Отсюда:

$$\sin\frac{x}{2}=0 \quad \text{или} \quad \sin\frac{x}{2}=1.$$

1) $$\frac{x}{2}=\pi n,\quad x=2\pi n.$$

2) $$\frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad x=\pi+4\pi n.$$

Ответ: $$x=2\pi n,\ \pi+4\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$1-\cos x=\sin x\cdot \sin\frac{x}{2}.$$

Преобразуем левую часть:

$$2\sin^2\frac{x}{2}=2\sin x\cdot \sin\frac{x}{2}.$$

Так как $$\sin x=2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2},$$ получаем

$$2\sin^2\frac{x}{2}=4\sin^2\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$2\sin^2\frac{x}{2}\left(1-2\cos\frac{x}{2}\right)=0.$$

Отсюда:

1) $$\sin\frac{x}{2}=0 \Rightarrow x=2\pi n.$$

2) $$1-2\cos\frac{x}{2}=0 \Rightarrow \cos\frac{x}{2}=\frac12.$$

Тогда

$$\frac{x}{2}=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad x=\pm\frac{2\pi}{3}+4\pi n.$$

Ответ: $$x=2\pi n,\ \pm\frac{2\pi}{3}+4\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

в) $$1+\cos x=2\cos\frac{x}{2}.$$

Используем формулу $$1+\cos x=2\cos^2\frac{x}{2}.$$ Тогда

$$2\cos^2\frac{x}{2}=2\cos\frac{x}{2}$$

$$\cos^2\frac{x}{2}-\cos\frac{x}{2}=0$$

$$\cos\frac{x}{2}\left(\cos\frac{x}{2}-1\right)=0.$$

Отсюда:

1) $$\cos\frac{x}{2}=0 \Rightarrow \frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ x=\pi+2\pi n.$$

2) $$\cos\frac{x}{2}=1 \Rightarrow \frac{x}{2}=2\pi n,\ x=4\pi n.$$

Ответ: $$x=\pi+2\pi n,\ 4\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

г) $$\sin x=\tg^2\frac{x}{2}\cdot(1+\cos x).$$

Так как $$\tg^2\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{1+\cos x},$$ то при $$1+\cos x\ne 0$$ имеем

$$\sin x=\frac{1-\cos x}{1+\cos x}(1+\cos x)=1-\cos x.$$

Тогда

$$\sin x+\cos x=1.$$

Разделим на $$\sqrt2$$:

$$\frac{\sqrt2}{2}\sin x+\frac{\sqrt2}{2}\cos x=\frac{\sqrt2}{2}.$$

Получаем

$$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{2}.$$

Отсюда

$$x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+2\pi n \quad \text{или} \quad x+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}+2\pi n.$$

Следовательно,

$$x=2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{2}+2\pi n.$$

Проверка области определения: $$1+\cos x\ne 0,$$ то есть $$x\ne \pi+2\pi n.$$ Найденные решения этому условию удовлетворяют.

Ответ: $$x=2\pi n,\ \frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$