Упр.27.54 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- Решите уравнение:
а) $$1-\cos x=2\sin\frac{x}{2}$$;
б) $$1-\cos x=\sin x\sin\frac{x}{2}$$;
в) $$1+\cos x=2\cos\frac{x}{2}$$;
г) $$\sin x=\operatorname{tg}^2\frac{x}{2}(1+\cos x)$$.
а) $$2\cos^2 x-\sin 2x=(\cos x-\sin x)^2,\quad x\in\left(-\frac{\pi}{2};3\pi\right)$$
Раскроем скобки:
$$2\cos^2 x-\sin 2x=\cos^2 x+\sin^2 x-2\sin x\cos x$$
$$2\cos^2 x-\sin 2x=1-\sin 2x$$
$$2\cos^2 x=1$$
$$2-2\sin^2 x=1$$
$$2\sin^2 x=1$$
$$\sin^2 x=\frac12$$
$$\sin x=\pm\frac{\sqrt2}{2}$$
$$x=\pm\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
Подставим ограничения на $$x$$.
1) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n$$
$$-\frac{\pi}{2}<-\frac{\pi}{4}+\pi n<3\pi$$
$$-\frac{\pi}{4}<\pi n<\frac{13\pi}{4}$$
$$-\frac14<n<\frac{13}{4}$$
$$n=0,1,2,3$$
2) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n$$
$$-\frac{\pi}{2}<\frac{\pi}{4}+\pi n<3\pi$$
$$-\frac{3\pi}{4}<\pi n<\frac{11\pi}{4}$$
$$-\frac34<n<\frac{11}{4}$$
$$n=0,1,2$$
Итак, всего корней: $$4+3=7$$.
б) $$6\cos^2 x+\sin 2x=(\cos x+\sin x)^2+2,\quad x\in(-\pi;3{,}5\pi)$$
Преобразуем левую часть:
$$6\cos^2 x+\sin 2x=\cos^2 x+\sin^2 x+2\sin x\cos x+2$$
$$6\cos^2 x+\sin 2x=1+\sin 2x+2$$
$$6\cos^2 x=3$$
$$2\cos^2 x=1$$
$$2-2\sin^2 x=1$$
$$2\sin^2 x=1$$
$$\sin x=\pm\frac{\sqrt2}{2}$$
$$x=\pm\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
Учитываем промежуток $$(-\pi;3{,}5\pi)$$.
1) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n$$
$$-\pi<-\frac{\pi}{4}+\pi n<\frac{7\pi}{2}$$
$$-\frac{3\pi}{4}<\pi n<\frac{15\pi}{4}$$
$$-\frac34<n<\frac{15}{4}$$
$$n=0,1,2,3$$
2) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n$$
$$-\pi<\frac{\pi}{4}+\pi n<\frac{7\pi}{2}$$
$$-\frac{5\pi}{4}<\pi n<\frac{13\pi}{4}$$
$$-\frac54<n<\frac{13}{4}$$
$$n=-1,0,1,2,3$$
Всего корней: $$4+5=9$$.
в) $$1+\cos x=2\cos\frac{x}{2}$$
Используем формулу $$1+\cos x=2\cos^2\frac{x}{2}$$:
$$2\cos^2\frac{x}{2}=2\cos\frac{x}{2}$$
$$\cos\frac{x}{2}\left(\cos\frac{x}{2}-1\right)=0$$
Отсюда:
$$\cos\frac{x}{2}=0 \quad \text{или} \quad \cos\frac{x}{2}=1$$
1) $$\frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\pi+2\pi n$$
2) $$\frac{x}{2}=2\pi n \Rightarrow x=4\pi n$$
Ответ: $$x=\pi+2\pi n,\; x=4\pi n,\; n\in\mathbb Z$$.
г) $$\sin x=\tg^2\frac{x}{2}\,(1+\cos x)$$
Преобразуем правую часть:
$$\tg^2\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{1+\cos x}$$
Тогда при $$1+\cos x\neq 0$$:
$$\tg^2\frac{x}{2}\,(1+\cos x)=1-\cos x$$
Получаем уравнение:
$$\sin x=1-\cos x$$
$$\sin x+\cos x=1$$
Возведём в квадрат:
$$\sin^2 x+2\sin x\cos x+\cos^2 x=1$$
$$1+\sin 2x=1$$
$$\sin 2x=0$$
$$2x=\pi n,\quad x=\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z$$
Проверим в исходном уравнении. Подходят только значения, при которых $$\sin x=\tg^2\frac{x}{2}(1+\cos x)$$ выполняется и правая часть определена. Подстановка даёт решения:
$$x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
Ответ: $$x=2\pi n,\; n\in\mathbb Z$$.
