Упр.27.53 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Сколько корней имеет уравнение:

1. а) $$\cos x-\sin x=1-2\sin 2x$$ на отрезке $$\left[\frac{20\pi}{9};\frac{28\pi}{9}\right]$$;
2. б) $$2\cos^2\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)-2\sin^2\left(\frac{\pi}{4}-2x\right)$$ на отрезке $$\left[\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right]$$.

а) $$\left(\cos x-\sin x\right)^2=1-2\sin 2x.$$

Раскроем квадрат:

$$\cos^2 x-2\sin x\cos x+\sin^2 x=1-2\sin 2x.$$

Так как $$\cos^2 x+\sin^2 x=1,$$ а $$2\sin x\cos x=\sin 2x,$$ получаем:

$$1-\sin 2x=1-2\sin 2x,$$

$$\sin 2x=0.$$

Тогда

$$2x=\pi n,\qquad x=\frac{\pi n}{2},\qquad n\in\mathbb{Z}.$$

Найдём значения $$x$$ на отрезке $$\left[\frac{20\pi}{9};\frac{28\pi}{9}\right].$$

$$\frac{20\pi}{9}\le \frac{\pi n}{2}\le \frac{28\pi}{9}$$

$$\frac{40}{9}\le n\le \frac{56}{9}.$$

Отсюда $$n=5,6.$$ Значит, корни:

$$x_1=\frac{5\pi}{2},\qquad x_2=3\pi.$$

Итак, на данном отрезке уравнение имеет 2 корня.

б) $$2\cos^2\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)-2\sin^2\left(\frac{\pi}{4}-2x\right)+1=0.$$

Заметим, что

$$\sin\left(\frac{\pi}{4}-2x\right)=\sin\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)\cdot(-1),$$

поэтому

$$\sin^2\left(\frac{\pi}{4}-2x\right)=\sin^2\left(2x-\frac{\pi}{4}\right).$$

Тогда уравнение принимает вид

$$2\cos^2\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)-2\sin^2\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)+1=0.$$

Используем формулу $$\cos^2 t-\sin^2 t=\cos 2t$$:

$$2\cos\left(4x-\frac{\pi}{2}\right)+1=0.$$

Так как $$\cos\left(4x-\frac{\pi}{2}\right)=\sin 4x,$$ получаем

$$2\sin 4x+1=0,$$

$$\sin 4x=-\frac12.$$

Решения:

$$4x=(-1)^n\arcsin\left(-\frac12\right)+\pi n=(-1)^n\left(-\frac{\pi}{6}\right)+\pi n,$$

или

$$x=\frac{(-1)^n\pi}{24}+\frac{\pi n}{4},\qquad n\in\mathbb{Z}.$$

Найдём корни на отрезке $$\left[\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right].$$ Подходящие значения:

$$x_1=\frac{13\pi}{24},\qquad x_2=\frac{17\pi}{24},\qquad x_3=\frac{25\pi}{24},\qquad x_4=\frac{29\pi}{24}.$$

Итак, на данном отрезке уравнение имеет 4 корня.

Ответ: а) 2; б) 4.