Упр.27.51 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   а) $$3\sin 2x+\cos 2x=1$$;
   б) $$\cos 4x+2\sin 4x=1$$.

а) $$3\sin 2x+\cos 2x=1$$

Перепишем правую часть через $$\sin^2 x+\cos^2 x$$:

$$3\cdot 2\sin x\cos x+\cos^2 x-\sin^2 x=\cos^2 x+\sin^2 x$$

$$6\sin x\cos x-2\sin^2 x=0$$

$$2\sin x(3\cos x-\sin x)=0$$

Отсюда:

1. $$\sin x=0,$$ тогда $$x=\pi n,$$ $$n\in\mathbb Z;$$
2. $$3\cos x-\sin x=0,$$ то есть $$\tg x=3,$$ откуда $$x=\arctg 3+\pi n,$$ $$n\in\mathbb Z.$$

б) $$\cos 4x+2\sin 4x=1$$

Используем формулы двойного угла:

$$\cos 4x=\cos^2 2x-\sin^2 2x,\qquad \sin 4x=2\sin 2x\cos 2x$$

Тогда

$$\cos^2 2x-\sin^2 2x+4\sin 2x\cos 2x=1$$

$$\cos^2 2x-\sin^2 2x+4\sin 2x\cos 2x-\cos^2 2x-\sin^2 2x=0$$

$$4\sin 2x\cos 2x-2\sin^2 2x=0$$

$$2\sin 2x(2\cos 2x-\sin 2x)=0$$

Отсюда:

1. $$\sin 2x=0,$$ значит $$2x=\pi n,$$ $$x=\dfrac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z;$$
2. $$2\cos 2x-\sin 2x=0,$$ то есть $$\tg 2x=2,$$ откуда $$2x=\arctg 2+\pi n,$$ $$x=\dfrac12\arctg 2+\dfrac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ: а) $$x=\arctg 3+\pi n,\ \pi n,\ n\in\mathbb Z;$$ б) $$x=\dfrac12\arctg 2+\dfrac{\pi n}{2},\ \dfrac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$