Упр.27.50 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Найдите (в градусах) наибольший отрицательный корень уравнения: а) $$\cos x=\frac{\sin 22{,}5^\circ\cos 22{,}5^\circ}{\cos^2 67{,}5^\circ-\sin^2 67{,}5^\circ}$$; б) $$\sin x=\frac{\sin^2 75^\circ-\cos^2 75^\circ}{4\sin 15^\circ\cos 15^\circ}$$.

а) Преобразуем правую часть:

$$\cos x=\frac{\sin 22{,}5^\circ\cdot \cos 22{,}5^\circ}{\cos^2 67{,}5^\circ-\sin^2 67{,}5^\circ} =\frac{\frac12\sin 45^\circ}{\cos 135^\circ} =\frac{\frac12\cdot \frac{\sqrt2}{2}}{-\frac{\sqrt2}{2}} =-\frac12.$$

Тогда

$$\cos x=-\frac12.$$

Отсюда

$$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

Наибольший отрицательный корень:

$$x=-\frac{2\pi}{3}=-120^\circ.$$

б) Упростим правую часть:

$$\sin x=\frac{\sin^2 75^\circ-\cos^2 75^\circ}{4\sin 15^\circ\cos 15^\circ} =-\frac{\cos^2 75^\circ-\sin^2 75^\circ}{2\cdot 2\sin 15^\circ\cos 15^\circ} =-\frac{\cos 150^\circ}{\sin 30^\circ}.$$

Так как

$$\cos 150^\circ=-\frac{\sqrt3}{2},\qquad \sin 30^\circ=\frac12,$$

то

$$\sin x=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Следовательно,

$$x=(-1)^n\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

Наибольший отрицательный корень:

$$x=-\frac{4\pi}{3}=-240^\circ.$$

Ответ: а) $$-120^\circ$$; б) $$-240^\circ$$.