Упр.27.5 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\frac{\tg 75^\circ}{1-\tg^2 75^\circ}=\frac12\cdot \frac{2\tg 75^\circ}{1-\tg^2 75^\circ}=\frac12\cdot \tg(2\cdot 75^\circ)=\frac12\cdot \tg 150^\circ.$$

Так как $$\tg 150^\circ=\tg(180^\circ-30^\circ)=-\tg 30^\circ=-\frac{1}{\sqrt3},$$ то

$$\frac12\cdot \tg 150^\circ=\frac12\cdot \left(-\frac{1}{\sqrt3}\right)=-\frac{\sqrt3}{6}.$$

б) $$\frac{2\tg \frac{5\pi}{12}}{\tg^2 \frac{5\pi}{12}-1}=-\frac{2\tg \frac{5\pi}{12}}{1-\tg^2 \frac{5\pi}{12}}=-\tg\left(2\cdot \frac{5\pi}{12}\right)=-\tg \frac{5\pi}{6}.$$

Поскольку $$\tg \frac{5\pi}{6}=\tg\left(\pi-\frac{\pi}{6}\right)=-\tg \frac{\pi}{6}=-\frac{1}{\sqrt3},$$ получаем

$$-\tg \frac{5\pi}{6}=\frac{1}{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}.$$

Ответ: а) $$-\frac{\sqrt3}{6}$$; б) $$\frac{\sqrt3}{3}$$.