Упр.27.48 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку $$[0; 2\pi]$$:
а) $$\cos 2x + 3\sin x = 1$$;
б) $$\sin^2 x = -\cos 2x$$;
в) $$\cos 2x = \cos^2 x$$;
г) $$\cos 2x = 2\sin^2 x$$.
а) $$\cos 2x+3\sin x=1$$
$$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x,\qquad \cos^2 x=1-\sin^2 x$$
$$1-2\sin^2 x+3\sin x=1$$
$$2\sin^2 x-3\sin x=0$$
$$\sin x(2\sin x-3)=0$$
Отсюда:
$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=\frac{3}{2}$$
Так как $$\sin x=\frac{3}{2}$$ не имеет решений, остаётся
$$\sin x=0$$
На отрезке $$[0;2\pi]$$ получаем:
$$x=0,\ \pi,\ 2\pi$$
б) $$\sin^2 x=-\cos 2x$$
$$\sin^2 x+\cos 2x=0$$
$$\sin^2 x+\cos^2 x-\sin^2 x=0$$
$$\cos^2 x=0$$
$$\cos x=0$$
На отрезке $$[0;2\pi]$$:
$$x=\frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}$$
в) $$\cos 2x=\cos^2 x$$
$$\cos^2 x-\sin^2 x=\cos^2 x$$
$$\sin^2 x=0$$
$$\sin x=0$$
На отрезке $$[0;2\pi]$$:
$$x=0,\ \pi,\ 2\pi$$
г) $$\cos 2x=2\sin^2 x$$
$$\cos^2 x-\sin^2 x=2\sin^2 x$$
$$1-\sin^2 x=3\sin^2 x$$
$$4\sin^2 x=1$$
$$\sin x=\pm \frac12$$
На отрезке $$[0;2\pi]$$ получаем:
$$x=\frac{\pi}{6},\ \frac{5\pi}{6},\ \frac{7\pi}{6},\ \frac{11\pi}{6}$$
Ответ: а) $$0,\ \pi,\ 2\pi$$; б) $$\frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}$$; в) $$0,\ \pi,\ 2\pi$$; г) $$\frac{\pi}{6},\ \frac{5\pi}{6},\ \frac{7\pi}{6},\ \frac{11\pi}{6}$$.
