Упр.27.47 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\sin x\cos x=1$$; б) $$\sin 4x\cos 4x=\frac{1}{2}$$; в) $$\cos^2\frac{x}{3}-\sin^2\frac{x}{3}=\frac{1}{2}$$; г) $$\sin^2x-\cos^2x=\frac{1}{2}$$.

а) $$\sin x \cdot \cos x = 1.$$

Используем формулу $$\sin 2x = 2\sin x \cos x$$:

$$\frac{1}{2}\sin 2x = 1,$$

$$\sin 2x = 2.$$

Так как $$|\sin 2x| \le 1,$$ то уравнение решений не имеет.

б) $$\sin 4x \cdot \cos 4x = \frac{1}{2}.$$

Тогда

$$\frac{1}{2}\sin 8x = \frac{1}{2},$$

$$\sin 8x = 1.$$

Отсюда

$$8x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n,\quad n \in \mathbb{Z},$$

$$x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4},\quad n \in \mathbb{Z}.$$

в) $$\cos^2 \frac{x}{3} — \sin^2 \frac{x}{3} = \frac{1}{2}.$$

По формуле $$\cos^2 t — \sin^2 t = \cos 2t$$ получаем:

$$\cos \frac{2x}{3} = \frac{1}{2}.$$

Тогда

$$\frac{2x}{3} = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n,\quad n \in \mathbb{Z},$$

$$x = \pm \frac{\pi}{2} + 3\pi n,\quad n \in \mathbb{Z}.$$

г) $$\sin^2 x — \cos^2 x = \frac{1}{2}.$$

Преобразуем:

$$\cos^2 x — \sin^2 x = -\frac{1}{2},$$

$$\cos 2x = -\frac{1}{2}.$$

Отсюда

$$2x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n,\quad n \in \mathbb{Z},$$

$$x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n,\quad n \in \mathbb{Z}.$$

Ответ

а) корней нет; б) $$x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4},\ n \in \mathbb{Z};$$ в) $$x = \pm \frac{\pi}{2} + 3\pi n,\ n \in \mathbb{Z};$$ г) $$x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n,\ n \in \mathbb{Z}.$$