Упр.27.46 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Решите уравнение:

• а) $$\sin 2x-2\cos x=0$$;
• б) $$2\sin x=\sin 2x$$;
• в) $$\sin 2x-\sin x=0$$;
• г) $$\sin 2x-\cos x=0$$.

а) $$\sin 2x-2\cos x=0$$

$$2\sin x\cos x-2\cos x=0$$

$$2\cos x(\sin x-1)=0$$

Отсюда:

$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=1.$$

Тогда

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

б) $$2\sin x=\sin 2x$$

$$2\sin x-2\sin x\cos x=0$$

$$2\sin x(1-\cos x)=0$$

Отсюда:

$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=1.$$

Но оба случая дают

$$x=\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

в) $$\sin 2x-\sin x=0$$

$$2\sin x\cos x-\sin x=0$$

$$\sin x(2\cos x-1)=0$$

Отсюда:

$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=\frac12.$$

Следовательно,

$$x=\pi n,\; n\in\mathbb Z,$$

или

$$x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

г) $$\sin 2x-\cos x=0$$

$$2\sin x\cos x-\cos x=0$$

$$\cos x(2\sin x-1)=0$$

Отсюда:

$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=\frac12.$$

Значит,

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z,$$

или

$$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

Ответ: а) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$; б) $$x=\pi n$$; в) $$x=\pi n,\ \pm\frac{\pi}{3}+2\pi n$$; г) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ (-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$