Упр.27.45 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) Зная, что $$t=\arccos\frac{3}{5}$$, вычислите $$\sin\frac{t}{2}$$, $$\cos\frac{t}{2}$$, $$\tg\frac{t}{2}$$; б) зная, что $$t=\arctg\left(-\frac{3}{4}\right)$$, вычислите $$\sin\frac{t}{2}$$, $$\cos\frac{t}{2}$$, $$\tg\frac{t}{2}$$; в) зная, что $$t=\arcsin\left(-\frac{5}{13}\right)$$, вычислите $$\sin\frac{t}{2}$$, $$\cos\frac{t}{2}$$, $$\tg\frac{t}{2}$$; г) зная, что $$t=\operatorname{arcctg}(12-5)$$, вычислите $$\sin\frac{t}{2}$$, $$\cos\frac{t}{2}$$, $$\tg\frac{t}{2}$$.

а) $$t=\arccos \frac35$$

Так как $$t\in\left[0;\pi\right]$$, то $$\frac t2\in\left[0;\frac\pi2\right]$$, значит, все тригонометрические функции половинного угла положительны.

$$\sin \frac t2=\sqrt{\frac{1-\cos t}{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac35}{2}}=\sqrt{\frac{1}{5}}=\frac{\sqrt5}{5}$$
$$\cos \frac t2=\sqrt{\frac{1+\cos t}{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac35}{2}}=\sqrt{\frac45}=\frac{2\sqrt5}{5}$$
$$\tg \frac t2=\frac{\sin \frac t2}{\cos \frac t2}=\frac{\frac{\sqrt5}{5}}{\frac{2\sqrt5}{5}}=\frac12$$

б) $$t=\arctg\left(-\frac34\right)$$

Здесь $$t\in\left(-\frac\pi2;0\right)$$, поэтому $$\frac t2\in\left(-\frac\pi4;0\right)$$. Следовательно, $$\sin \frac t2<0$$, $$\cos \frac t2>0$$.

$$\tg t=-\frac34$$
$$\cos t=\frac{1}{\sqrt{1+\tg^2 t}}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{9}{16}}}=\frac45$$
$$\sin \frac t2=-\sqrt{\frac{1-\cos t}{2}}=-\sqrt{\frac{1-\frac45}{2}}=-\sqrt{\frac{1}{10}}=-\frac{\sqrt{10}}{10}$$
$$\cos \frac t2=\sqrt{\frac{1+\cos t}{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac45}{2}}=\sqrt{\frac{9}{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$$
$$\tg \frac t2=\frac{\sin \frac t2}{\cos \frac t2}=\frac{-\frac{\sqrt{10}}{10}}{\frac{3\sqrt{10}}{10}}=-\frac13$$

в) $$t=\arcsin\left(-\frac{5}{13}\right)$$

Так как $$t\in\left[-\frac\pi2;0\right]$$, то $$\frac t2\in\left[-\frac\pi4;0\right]$$. Значит, $$\sin \frac t2<0$$, $$\cos \frac t2>0$$.

$$\sin t=-\frac{5}{13}$$
$$\cos t=\sqrt{1-\sin^2 t}=\sqrt{1-\frac{25}{169}}=\frac{12}{13}$$
$$\sin \frac t2=-\sqrt{\frac{1-\cos t}{2}}=-\sqrt{\frac{1-\frac{12}{13}}{2}}=-\sqrt{\frac{1}{26}}=-\frac{\sqrt{26}}{26}$$
$$\cos \frac t2=\sqrt{\frac{1+\cos t}{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{12}{13}}{2}}=\sqrt{\frac{25}{26}}=\frac{5\sqrt{26}}{26}$$
$$\tg \frac t2=\frac{\sin \frac t2}{\cos \frac t2}=\frac{-\frac{\sqrt{26}}{26}}{\frac{5\sqrt{26}}{26}}=-\frac15$$

г) $$t=\operatorname{arcctg}\frac{12}{5}$$

Здесь $$t\in\left(0;\pi\right)$$, а так как $$\ctg t=\frac{12}{5}>0$$, то $$t$$ лежит в первой четверти. Следовательно, $$\frac t2\in\left(0;\frac\pi2\right)$$, и все значения половинного угла положительны.

$$\ctg t=\frac{12}{5}$$
$$\sin t=\frac{1}{\sqrt{1+\ctg^2 t}}=\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{12}{5}\right)^2}}=\frac{5}{13}$$
$$\cos t=\ctg t\cdot \sin t=\frac{12}{5}\cdot \frac{5}{13}=\frac{12}{13}$$
$$\sin \frac t2=\sqrt{\frac{1-\cos t}{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{12}{13}}{2}}=\sqrt{\frac{1}{26}}=\frac{\sqrt{26}}{26}$$
$$\cos \frac t2=\sqrt{\frac{1+\cos t}{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{12}{13}}{2}}=\sqrt{\frac{25}{26}}=\frac{5\sqrt{26}}{26}$$
$$\tg \frac t2=\frac{\sin \frac t2}{\cos \frac t2}=\frac{\frac{\sqrt{26}}{26}}{\frac{5\sqrt{26}}{26}}=\frac15$$

Ответ

а) $$\frac{\sqrt5}{5},\ \frac{2\sqrt5}{5},\ \frac12$$;
б) $$-\frac{\sqrt{10}}{10},\ \frac{3\sqrt{10}}{10},\ -\frac13$$;
в) $$-\frac{\sqrt{26}}{26},\ \frac{5\sqrt{26}}{26},\ -\frac15$$;
г) $$\frac{\sqrt{26}}{26},\ \frac{5\sqrt{26}}{26},\ \frac15$$.