Упр.27.44 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) Зная, что $$t=2\arccos\frac{3}{5}$$, вычислите $$\sin t$$, $$\cos t$$, $$\tg t$$, $$\ctg t$$; б) зная, что $$t=2\arctg\left(-\frac{3}{4}\right)$$, вычислите $$\sin t$$, $$\cos t$$, $$\tg t$$, $$\ctg t$$; в) зная, что $$t=2\arcsin\left(-\frac{5}{13}\right)$$, вычислите $$\sin t$$, $$\cos t$$, $$\tg t$$, $$\ctg t$$; г) зная, что $$t=2\arcctg\frac{12}{5}$$, вычислите $$\sin t$$, $$\cos t$$, $$\tg t$$, $$\ctg t$$.

а) Пусть $$\frac{t}{2}=\arccos\frac{3}{5}.$$ Тогда

$$\cos\frac{t}{2}=\frac{3}{5}, \qquad \sin\frac{t}{2}=\sqrt{1-\cos^2\frac{t}{2}}=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}.$$

Тогда

$$\sin t=2\sin\frac{t}{2}\cos\frac{t}{2}=2\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{3}{5}=\frac{24}{25},$$

$$\cos t=\cos^2\frac{t}{2}-\sin^2\frac{t}{2}=\frac{9}{25}-\frac{16}{25}=-\frac{7}{25},$$

$$\tg t=\frac{\sin t}{\cos t}=\frac{24/25}{-7/25}=-\frac{24}{7}, \qquad \ctg t=-\frac{7}{24}.$$

б) Пусть $$\frac{t}{2}=\arctg\left(-\frac{3}{4}\right).$$ Тогда

$$\tg\frac{t}{2}=-\frac{3}{4}, \qquad \cos\frac{t}{2}=\frac{1}{\sqrt{1+\tg^2\frac{t}{2}}}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{9}{16}}}=\frac{4}{5},$$

$$\sin\frac{t}{2}=\tg\frac{t}{2}\cdot\cos\frac{t}{2}=-\frac{3}{4}\cdot\frac{4}{5}=-\frac{3}{5}.$$

Тогда

$$\sin t=2\sin\frac{t}{2}\cos\frac{t}{2}=2\cdot\left(-\frac{3}{5}\right)\cdot\frac{4}{5}=-\frac{24}{25},$$

$$\cos t=\cos^2\frac{t}{2}-\sin^2\frac{t}{2}=\frac{16}{25}-\frac{9}{25}=\frac{7}{25},$$

$$\tg t=\frac{\sin t}{\cos t}=\frac{-24/25}{7/25}=-\frac{24}{7}, \qquad \ctg t=-\frac{7}{24}.$$

в) Пусть $$\frac{t}{2}=\arcsin\left(-\frac{5}{13}\right).$$ Тогда

$$\sin\frac{t}{2}=-\frac{5}{13}, \qquad \cos\frac{t}{2}=\sqrt{1-\sin^2\frac{t}{2}}=\sqrt{1-\frac{25}{169}}=\frac{12}{13}.$$

Тогда

$$\sin t=2\sin\frac{t}{2}\cos\frac{t}{2}=2\cdot\left(-\frac{5}{13}\right)\cdot\frac{12}{13}=-\frac{120}{169},$$

$$\cos t=\cos^2\frac{t}{2}-\sin^2\frac{t}{2}=\frac{144}{169}-\frac{25}{169}=\frac{119}{169},$$

$$\tg t=\frac{\sin t}{\cos t}=\frac{-120/169}{119/169}=-\frac{120}{119}, \qquad \ctg t=-\frac{119}{120}.$$

г) Пусть $$\frac{t}{2}=\arcctg\frac{12}{5}.$$ Тогда

$$\ctg\frac{t}{2}=\frac{12}{5}, \qquad \sin\frac{t}{2}=\frac{1}{\sqrt{1+\ctg^2\frac{t}{2}}}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{144}{25}}}=\frac{5}{13},$$

$$\cos\frac{t}{2}=\ctg\frac{t}{2}\cdot\sin\frac{t}{2}=\frac{12}{5}\cdot\frac{5}{13}=\frac{12}{13}.$$

Тогда

$$\sin t=2\sin\frac{t}{2}\cos\frac{t}{2}=2\cdot\frac{5}{13}\cdot\frac{12}{13}=\frac{120}{169},$$

$$\cos t=\cos^2\frac{t}{2}-\sin^2\frac{t}{2}=\frac{144}{169}-\frac{25}{169}=\frac{119}{169},$$

$$\tg t=\frac{\sin t}{\cos t}=\frac{120/169}{119/169}=\frac{120}{119}, \qquad \ctg t=\frac{119}{120}.$$

Ответ: а) $$\frac{24}{25},\ -\frac{7}{25},\ -\frac{24}{7},\ -\frac{7}{24}$$; б) $$-\frac{24}{25},\ \frac{7}{25},\ -\frac{24}{7},\ -\frac{7}{24}$$; в) $$-\frac{120}{169},\ \frac{119}{169},\ -\frac{120}{119},\ -\frac{119}{120}$$; г) $$\frac{120}{169},\ \frac{119}{169},\ \frac{120}{119},\ \frac{119}{120}$$.