Упр.27.43 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- а) Известно, что $$\operatorname{tg} x=\frac{1}{7}$$, $$\sin y=\frac{\sqrt{10}}{10}$$, $$0
а) Так как $$0<y<\frac{\pi}{2},$$ то $$\cos y>0.$$ Найдём $$\cos y$$ и $$\tg y$$:
$$\cos y=\sqrt{1-\sin^2 y}=\sqrt{1-\left(\frac{\sqrt{10}}{10}\right)^2}=\sqrt{1-\frac{1}{10}}=\sqrt{\frac{9}{10}}=\frac{3}{\sqrt{10}},$$
$$\tg y=\frac{\sin y}{\cos y}=\frac{\frac{\sqrt{10}}{10}}{\frac{3}{\sqrt{10}}}=\frac{1}{3}.$$
Тогда
$$\tg 2y=\frac{2\tg y}{1-\tg^2 y}=\frac{2\cdot \frac{1}{3}}{1-\left(\frac{1}{3}\right)^2}=\frac{2/3}{8/9}=\frac{3}{4}.$$
Теперь вычислим $$\tg(x+2y):$$
$$\tg(x+2y)=\frac{\tg x+\tg 2y}{1-\tg x\cdot \tg 2y}=\frac{\frac{1}{7}+\frac{3}{4}}{1-\frac{1}{7}\cdot \frac{3}{4}}=\frac{\frac{25}{28}}{\frac{25}{28}}=1.$$
Так как $$0<x<\frac{\pi}{2}$$ и $$0<2y<\pi,$$ причём $$\tg 2y>0,$$ то $$0<2y<\frac{\pi}{2}.$$ Следовательно, $$0<x+2y<\pi,$$ а значит $$x+2y$$ — угол первой четверти. В первой четверти из равенства $$\tg(x+2y)=1$$ получаем
$$x+2y=\frac{\pi}{4}.$$
б) Так как $$0<x,y,z<\frac{\pi}{2},$$ то $$\cos x>0,$$ $$\cos \frac{y}{2}>0,$$ $$\sin \frac{y}{2}>0.$$ Найдём нужные значения:
$$\cos x=\sqrt{1-\sin^2 x}=\sqrt{1-\left(\frac{7}{25}\right)^2}=\sqrt{\frac{576}{625}}=\frac{24}{25},$$
$$\cos \frac{y}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos y}{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{7}{25}}{2}}=\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5},$$
$$\sin \frac{y}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos y}{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{7}{25}}{2}}=\sqrt{\frac{9}{25}}=\frac{3}{5}.$$
Тогда
$$\cos\left(x+\frac{y}{2}\right)=\cos x\cos \frac{y}{2}-\sin x\sin \frac{y}{2}$$
$$=\frac{24}{25}\cdot \frac{4}{5}-\frac{7}{25}\cdot \frac{3}{5}=\frac{96-21}{125}=\frac{75}{125}=\frac{3}{5}.$$
Так как $$0<x+\frac{y}{2}<\frac{\pi}{2},$$ то угол $$x+\frac{y}{2}$$ лежит в первой четверти. Следовательно, из равенства
$$\cos\left(x+\frac{y}{2}\right)=\cos z=\frac{3}{5}$$
получаем
$$x+\frac{y}{2}=z.$$
Ответ: а) $$x+2y=\frac{\pi}{4}$$; б) $$x+\frac{y}{2}=z$$.
