Упр.27.42 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) Докажите, что если $$\sin^2 x=\sin y\cos y$$, то $$\cos 2x=2\cos^2\left(\frac{\pi}{4}+y\right)$$; б) докажите, что если $$\cos^2 x=\sin y\cos y$$, то $$\cos(\pi+2x)=2\sin^2\left(\frac{\pi}{4}-y\right)$$.

а) Используем формулу двойного угла и формулу приведения:

$$2\cos^2\left(\frac{\pi}{4}+y\right)=1+\cos\left(\frac{\pi}{2}+2y\right)=1-\sin 2y.$$

По условию $$\sin^2 x=\sin y\cos y,$$ значит

$$\sin 2y=2\sin y\cos y=2\sin^2 x.$$

Тогда

$$1-\sin 2y=1-2\sin^2 x=\cos 2x.$$

Следовательно,

$$\cos 2x=2\cos^2\left(\frac{\pi}{4}+y\right).$$

б) Аналогично,

$$2\sin^2\left(\frac{\pi}{4}-y\right)=1-\cos\left(\frac{\pi}{2}-2y\right)=1-\sin 2y.$$

По условию $$\cos^2 x=\sin y\cos y,$$ значит

$$\sin 2y=2\sin y\cos y=2\cos^2 x.$$

Тогда

$$1-\sin 2y=1-2\cos^2 x=-\cos 2x=\cos(\pi+2x).$$

Следовательно,

$$\cos(\pi+2x)=2\sin^2\left(\frac{\pi}{4}-y\right).$$

Ответ: доказано.