Упр.27.41 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) Зная, что $$15\cos 2t+8\sin t=9$$ и $$1<t<3$$, вычислите $$\tg t$$; б) зная, что $$6\cos 2t+5\cos t+3=0$$ и $$4<t<6$$, вычислите $$\ctg t$$.

а) Преобразуем уравнение:

$$15\cos 2t+8\sin t=9$$

$$15(1-2\sin^2 t)+8\sin t=9$$

$$15-30\sin^2 t+8\sin t=9$$

$$15\sin^2 t-4\sin t-3=0$$

Пусть $$y=\sin t$$. Тогда

$$15y^2-4y-3=0$$

$$D=(-4)^2-4\cdot 15\cdot(-3)=16+180=196$$

$$y_{1,2}=\frac{4\pm 14}{30}$$

$$y_1=\frac{3}{5},\qquad y_2=-\frac{1}{3}$$

Так как $$1<t<3$$, то $$t$$ лежит во второй четверти, значит $$\sin t>0$$. Следовательно,

$$\sin t=\frac{3}{5}$$

Тогда

$$\cos t=-\sqrt{1-\sin^2 t}=-\sqrt{1-\frac{9}{25}}=-\frac{4}{5}$$

$$\tg t=\frac{\sin t}{\cos t}=\frac{3/5}{-4/5}=-\frac{3}{4}$$

б) Преобразуем уравнение:

$$6\cos 2t+5\cos t+3=0$$

$$6(2\cos^2 t-1)+5\cos t+3=0$$

$$12\cos^2 t+5\cos t-3=0$$

Пусть $$y=\cos t$$. Тогда

$$12y^2+5y-3=0$$

$$D=5^2-4\cdot 12\cdot(-3)=25+144=169$$

$$y_{1,2}=\frac{-5\pm 13}{24}$$

$$y_1=\frac{1}{3},\qquad y_2=-\frac{3}{4}$$

Так как $$4<t<6$$, то $$t$$ лежит в третьей или четвертой четверти. Проверим возможные значения:

если $$\cos t=\frac{1}{3}$$, то $$\sin t<0$$ и $$\ctg t<0$$;

если $$\cos t=-\frac{3}{4}$$, то $$t$$ находится в третьей четверти, где $$\ctg t>0$$. Значит, подходит именно это значение.

Найдём $$\sin t$$:

$$\sin t=-\sqrt{1-\cos^2 t}=-\sqrt{1-\frac{9}{16}}=-\frac{\sqrt7}{4}$$

Тогда

$$\ctg t=\frac{\cos t}{\sin t}=\frac{-3/4}{-\sqrt7/4}=\frac{3}{\sqrt7}=\frac{3\sqrt7}{7}$$

Ответ: а) $$-\frac{3}{4}$$; б) $$\frac{3\sqrt7}{7}$$.