Упр.27.40 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) Зная, что $$f(x)=\sin x$$, $$f(a)=0,1$$, вычислите $$f(3a)$$; б) зная, что $$f(x)=\sin x$$, $$f(a)=0,25$$, вычислите $$f(4a)$$; в) зная, что $$f(x)=\cos x$$, $$f(a)=-0,1$$, вычислите $$f(3a)$$; г) зная, что $$f(x)=\cos x$$, $$f(a)=\frac{2}{3}$$, вычислите $$f(4a)$$.

а) $$f(a)=\sin a=0{,}1.$$ Тогда

$$f(3a)=\sin 3a=3\sin a-4\sin^3 a=3\cdot 0{,}1-4\cdot 0{,}1^3=0{,}3-0{,}004=0{,}296.$$

б) $$f(a)=\sin a=0{,}25=\frac14.$$ Тогда

$$\sin 4a=4\sin a\cos a\cos 2a,$$

где

$$\cos a=\pm\sqrt{1-\sin^2 a}=\pm\sqrt{1-\left(\frac14\right)^2}=\pm\frac{\sqrt{15}}{4},$$

$$\cos 2a=1-2\sin^2 a=1-2\left(\frac14\right)^2=\frac78.$$

Следовательно,

$$f(4a)=\sin 4a=4\cdot \frac14\cdot \left(\pm\frac{\sqrt{15}}{4}\right)\cdot \frac78=\pm\frac{7\sqrt{15}}{32}.$$

в) $$f(a)=\cos a=-0{,}1.$$ Тогда

$$f(3a)=\cos 3a=4\cos^3 a-3\cos a=4\cdot(-0{,}1)^3-3\cdot(-0{,}1)=-0{,}004+0{,}3=0{,}296.$$

г) $$f(a)=\cos a=\frac23.$$ Тогда

$$f(4a)=\cos 4a=2\cos^2 2a-1,$$

а

$$\cos 2a=2\cos^2 a-1=2\left(\frac23\right)^2-1=\frac19.$$

Значит,

$$f(4a)=2\left(\frac19\right)^2-1=\frac{2}{81}-1=-\frac{79}{81}.$$

Ответ: а) $$0{,}296$$; б) $$\pm\frac{7\sqrt{15}}{32}$$; в) $$0{,}296$$; г) $$-\frac{79}{81}$$.