Упр.27.4 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Вычислите:

а) $$2\sin\frac{\pi}{8}\cos\frac{\pi}{8}$$;

б) $$\sin\frac{\pi}{8}\cos\frac{\pi}{8}+\frac{1}{4}$$;

в) $$\cos\frac{\pi}{8}-\sin^2\frac{\pi}{8}$$;

г) $$\frac{\sqrt{2}}{2}-\left(\cos\frac{\pi}{8}+\sin\frac{\pi}{8}\right)^2$$.

а) $$2\sin\frac{\pi}{8}\cos\frac{\pi}{8}=\sin\left(2\cdot\frac{\pi}{8}\right)=\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}.$$

б) $$\sin\frac{\pi}{8}\cos\frac{\pi}{8}+\frac14=\frac12\cdot 2\sin\frac{\pi}{8}\cos\frac{\pi}{8}+\frac14=\frac12\sin\frac{\pi}{4}+\frac14=\frac12\cdot\frac{\sqrt2}{2}+\frac14=\frac{\sqrt2+1}{4}.$$

в) $$\cos^2\frac{\pi}{8}-\sin^2\frac{\pi}{8}=\cos\left(2\cdot\frac{\pi}{8}\right)=\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}.$$

г) $$\frac{\sqrt2}{2}-\left(\cos\frac{\pi}{8}+\sin\frac{\pi}{8}\right)^2=\frac{\sqrt2}{2}-\left(\cos^2\frac{\pi}{8}+\sin^2\frac{\pi}{8}+2\cos\frac{\pi}{8}\sin\frac{\pi}{8}\right)$$

$$=\frac{\sqrt2}{2}-\left(1+\sin\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{2}-1-\frac{\sqrt2}{2}=-1.$$

Ответ: а) $$\frac{\sqrt2}{2}$$; б) $$\frac{\sqrt2+1}{4}$$; в) $$\frac{\sqrt2}{2}$$; г) $$-1$$.