Упр.27.38 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Выразите: а) $$\sin 3x$$ через $$\sin x$$; б) $$\cos 3x$$ через $$\cos x$$.

а) Используем формулу суммы:

$$\sin 3x=\sin(2x+x)=\sin 2x\cos x+\cos 2x\sin x.$$

Подставим формулы $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$ и $$\cos 2x=1-2\sin^2 x$$:

$$\sin 3x=2\sin x\cos^2 x+(1-2\sin^2 x)\sin x.$$

Так как $$\cos^2 x=1-\sin^2 x$$, получаем:

$$\sin 3x=2\sin x(1-\sin^2 x)+\sin x-2\sin^3 x=3\sin x-4\sin^3 x.$$

б) Используем формулу суммы:

$$\cos 3x=\cos(2x+x)=\cos 2x\cos x-\sin 2x\sin x.$$

Подставим формулы $$\cos 2x=2\cos^2 x-1$$ и $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$:

$$\cos 3x=(2\cos^2 x-1)\cos x-2\sin^2 x\cos x.$$

Так как $$\sin^2 x=1-\cos^2 x$$, имеем:

$$\cos 3x=(2\cos^2 x-1)\cos x-2(1-\cos^2 x)\cos x=4\cos^3 x-3\cos x.$$

Ответ: $$\sin 3x=3\sin x-4\sin^3 x,\qquad \cos 3x=4\cos^3 x-3\cos x.$$