Упр.27.37 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Сравните числа $$a$$ и $$b$$, если:

а) $$a=\sin\frac{\pi}{12},\quad b=\frac{1}{4}$$;

б) $$a=\operatorname{tg}\frac{\pi}{8},\quad b=\frac{1}{2}$$.

Подробный ответ

а) $$a=\sin\frac{\pi}{12},\quad b=\frac14.$$

Найдём значение $$a$$:

$$\sin\frac{\pi}{12}=\sqrt{\frac{1-\cos\frac{\pi}{6}}{2}} =\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt3}{2}}{2}} =\sqrt{\frac{2-\sqrt3}{4}} =\frac{\sqrt{2-\sqrt3}}{2}.$$

Сравним с $$\frac14$$. Так как оба числа положительны, достаточно сравнить их квадраты:

$$\frac{2-\sqrt3}{4} \ ?\ \frac1{16}.$$

Умножим на $$16$$:

$$4(2-\sqrt3)\ ?\ 1,$$

$$8-4\sqrt3\ ?\ 1,$$

$$7\ ?\ 4\sqrt3.$$

Возведём в квадрат:

$$49\ ?\ 48.$$

Значит, $$49>48$$, следовательно, $$7>4\sqrt3$$, а значит, $$a>b$$.

б) $$a=\tg\frac{\pi}{8},\quad b=\frac12.$$

Найдём значение $$a$$:

$$\tg\frac{\pi}{8} =\sqrt{\frac{1-\cos\frac{\pi}{4}}{1+\cos\frac{\pi}{4}}} =\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt2}{2}}{1+\frac{\sqrt2}{2}}} =\sqrt{\frac{2-\sqrt2}{2+\sqrt2}}.$$

Рационализуем знаменатель:

$$\frac{2-\sqrt2}{2+\sqrt2} =\frac{(2-\sqrt2)^2}{(2+\sqrt2)(2-\sqrt2)} =\frac{4-4\sqrt2+2}{4-2} =\frac{6-4\sqrt2}{2} =3-2\sqrt2.$$

Тогда

$$a=\sqrt{3-2\sqrt2}.$$

Сравним с $$\frac12$$. Так как числа положительны, сравним их квадраты:

$$3-2\sqrt2 \ ?\ \frac14.$$

Умножим на $$4$$:

$$12-8\sqrt2 \ ?\ 1,$$

$$11 \ ?\ 8\sqrt2.$$

Возведём в квадрат:

$$121 \ ?\ 128.$$

Так как $$121<128$$, то $$11<8\sqrt2$$, значит, $$3-2\sqrt2<\frac14$$ и потому $$a<b$$.