Упр.27.34 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Вычислите $$\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)$$, если: а) $$\sin\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}\right)$$; б) $$\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}\right)$$.

Подробный ответ

Пусть

$$a=\sin\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}\right).$$

Тогда

$$a^2=\sin^2\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1-\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)}{2}.$$

Отсюда

$$\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=1-2a^2.$$

Но

$$\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{2}-x-\frac{\pi}{6}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{3}-x\right)=\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right).$$

Значит,

$$\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=1-2a^2.$$

Аналогично, если

$$a=\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}\right),$$

то

$$a^2=\cos^2\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1+\cos\left(x+\frac{2\pi}{3}\right)}{2}.$$

Следовательно,

$$\cos\left(x+\frac{2\pi}{3}\right)=2a^2-1.$$

Так как

$$\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{2}-x-\frac{\pi}{6}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{3}-x\right)=\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right),$$

то после соответствующего преобразования получаем тот же результат:

$$\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=1-2a^2.$$