Упр.27.32 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Зная, что $$\tan\frac{x}{2}=a$$, найдите $$\sin\frac{2x-\pi}{2}$$, $$\cos\frac{2x+\pi}{2}$$.
2. Зная, что $$\tan\frac{x}{4}=a$$, найдите $$\sin\frac{x-3\pi}{2}$$, $$\cos\frac{x+3\pi}{2}$$.

а) Пусть $$\tg \frac{x}{2}=a.$$ Тогда

$$\tg^2 \frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{1+\cos x}=a^2.$$

Отсюда

$$1-\cos x=a^2(1+\cos x),$$

$$1-\cos x=a^2+a^2\cos x,$$

$$\cos x(1+a^2)=1-a^2,$$

$$\cos x=\frac{1-a^2}{1+a^2}.$$

Найдём $$\sin x$$:

$$\tg x=\frac{2\tg \frac{x}{2}}{1-\tg^2 \frac{x}{2}}=\frac{2a}{1-a^2},$$

$$\sin x=\tg x\cdot \cos x=\frac{2a}{1-a^2}\cdot \frac{1-a^2}{1+a^2}=\frac{2a}{1+a^2}.$$

Тогда

$$\sin \frac{2x-\pi}{2}=\sin \left(x-\frac{\pi}{2}\right)=-\cos x=\frac{a^2-1}{1+a^2},$$

$$\cos \frac{2x+\pi}{2}=\cos \left(x+\frac{\pi}{2}\right)=-\sin x=-\frac{2a}{1+a^2}.$$

б) Пусть $$\tg \frac{x}{4}=a.$$ Тогда

$$\tg^2 \frac{x}{4}=\frac{1-\cos \frac{x}{2}}{1+\cos \frac{x}{2}}=a^2.$$

Отсюда

$$1-\cos \frac{x}{2}=a^2\left(1+\cos \frac{x}{2}\right),$$

$$\cos \frac{x}{2}=\frac{1-a^2}{1+a^2}.$$

Найдём $$\sin \frac{x}{2}$$:

$$\tg \frac{x}{2}=\frac{2\tg \frac{x}{4}}{1-\tg^2 \frac{x}{4}}=\frac{2a}{1-a^2},$$

$$\sin \frac{x}{2}=\tg \frac{x}{2}\cdot \cos \frac{x}{2}=\frac{2a}{1-a^2}\cdot \frac{1-a^2}{1+a^2}=\frac{2a}{1+a^2}.$$

Тогда

$$\sin \frac{x-3\pi}{2}=\sin \left(\frac{x}{2}-\frac{3\pi}{2}\right)=\cos \frac{x}{2}=\frac{1-a^2}{1+a^2},$$

$$\cos \frac{x+3\pi}{2}=\cos \left(\frac{x}{2}+\frac{3\pi}{2}\right)=\sin \frac{x}{2}=\frac{2a}{1+a^2}.$$

Ответ: а) $$\frac{a^2-1}{1+a^2},\ -\frac{2a}{1+a^2}$$; б) $$\frac{1-a^2}{1+a^2},\ \frac{2a}{1+a^2}$$.