Упр.27.27 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Известно, что $$\sin t=\frac{5}{13}$$, $$\frac{\pi}{2}

Так как $$\sin t=\frac{5}{13}$$ и $$\frac{\pi}{2}<t<\pi,$$ то угол $$t$$ лежит во второй четверти, значит $$\cos t<0.$$

Найдём $$\cos t$$:

$$\cos t=-\sqrt{1-\sin^2 t}=-\sqrt{1-\left(\frac{5}{13}\right)^2}=-\sqrt{1-\frac{25}{169}}=-\sqrt{\frac{144}{169}}=-\frac{12}{13}.$$

Тогда

$$\tg t=\frac{\sin t}{\cos t}=\frac{5/13}{-12/13}=-\frac{5}{12}.$$

а) $$\sin 2t=2\sin t\cos t=2\cdot \frac{5}{13}\cdot \left(-\frac{12}{13}\right)=-\frac{120}{169}.$$

б) $$\cos 2t=\cos^2 t-\sin^2 t=\left(-\frac{12}{13}\right)^2-\left(\frac{5}{13}\right)^2=\frac{144}{169}-\frac{25}{169}=\frac{119}{169}.$$

в) $$\tg 2t=\frac{2\tg t}{1-\tg^2 t}=\frac{2\cdot \left(-\frac{5}{12}\right)}{1-\left(-\frac{5}{12}\right)^2}=\frac{-\frac{5}{6}}{1-\frac{25}{144}}=\frac{-\frac{5}{6}}{\frac{119}{144}}=-\frac{120}{119}.$$

г) $$\ctg 2t=\frac{1}{\tg 2t}=-\frac{119}{120}.$$

Ответ: а) $$-\frac{120}{169}$$; б) $$\frac{119}{169}$$; в) $$-\frac{120}{119}$$; г) $$-\frac{119}{120}$$.