Упр.27.3 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Вычислите: а) $$2\sin 15^\circ\cos 15^\circ$$; б) $$\left(\cos 75^\circ-\sin 75^\circ\right)^2$$; в) $$\cos^2 15^\circ-\sin^2 15^\circ$$; г) $$\left(\cos 15^\circ+\sin 15^\circ\right)^2$$.

Используем формулы:

$$2\sin x\cos x=\sin 2x,$$

$$\cos^2 x+\sin^2 x=1,$$

$$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x,$$

$$\cos^2 x+\sin^2 x+2\sin x\cos x=1+\sin 2x.$$

1. $$2\sin 15^\circ\cos 15^\circ=\sin(2\cdot 15^\circ)=\sin 30^\circ=\frac12.$$

2. $$\left(\cos 75^\circ-\sin 75^\circ\right)^2=\cos^2 75^\circ+\sin^2 75^\circ-2\sin 75^\circ\cos 75^\circ$$

   $$=1-\sin 150^\circ=1-\frac12=\frac12.$$

3. $$\cos^2 15^\circ-\sin^2 15^\circ=\cos(2\cdot 15^\circ)=\cos 30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}.$$

4. $$\left(\cos 15^\circ+\sin 15^\circ\right)^2=\cos^2 15^\circ+\sin^2 15^\circ+2\sin 15^\circ\cos 15^\circ$$

   $$=1+\sin 30^\circ=1+\frac12=\frac32.$$

Ответ: а) $$\frac12$$; б) $$\frac12$$; в) $$\frac{\sqrt3}{2}$$; г) $$\frac32$$.