Упр.27.29 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Известно, что $$\operatorname{tg} x=\frac{3}{4}$$, $$180^\circ

Так как $$180^\circ<x<270^\circ,$$ то угол $$x$$ лежит в третьей четверти, значит $$\tg x>0,$$ а $$\sin x<0,$$ $$\cos x<0.$$

Найдём $$\cos x$$ по формуле

$$1+\tg^2 x=\frac{1}{\cos^2 x}.$$

Тогда

$$1+\left(\frac{3}{4}\right)^2=\frac{1}{\cos^2 x}$$

$$1+\frac{9}{16}=\frac{1}{\cos^2 x}$$

$$\frac{25}{16}=\frac{1}{\cos^2 x},$$

откуда

$$\cos^2 x=\frac{16}{25}, \qquad \cos x=-\frac{4}{5}.$$

Теперь найдём $$\sin x$$:

$$\sin x=\tg x\cdot \cos x=\frac{3}{4}\cdot\left(-\frac{4}{5}\right)=-\frac{3}{5}.$$

Вычислим требуемые значения:

$$\sin 2x=2\sin x\cos x=2\cdot\left(-\frac{3}{5}\right)\cdot\left(-\frac{4}{5}\right)=\frac{24}{25};$$

$$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x=\left(-\frac{4}{5}\right)^2-\left(-\frac{3}{5}\right)^2=\frac{16}{25}-\frac{9}{25}=\frac{7}{25};$$

$$\tg 2x=\frac{2\tg x}{1-\tg^2 x}=\frac{2\cdot \frac{3}{4}}{1-\left(\frac{3}{4}\right)^2}=\frac{\frac{3}{2}}{1-\frac{9}{16}}=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{7}{16}}=\frac{24}{7};$$

$$\ctg 2x=\frac{1}{\tg 2x}=\frac{7}{24}.$$

Ответ

$$\sin 2x=\frac{24}{25},\quad \cos 2x=\frac{7}{25},\quad \tg 2x=\frac{24}{7},\quad \ctg 2x=\frac{7}{24}.$$