Упр.27.26 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Докажите равенство:
а) $$8\cos 10^\circ \cos 20^\circ \cos 40^\circ=\operatorname{ctg}10^\circ$$;
б) $$\sin 70^\circ+8\cos 20^\circ\cos 40^\circ\cos 80^\circ=2\cos^2 10^\circ$$.

Подробный ответ

а) Преобразуем левую часть, используя формулу $$2\sin x\cos x=\sin 2x$$:

$$8\cos 10^\circ \cos 20^\circ \cos 40^\circ = \frac{4}{\sin 10^\circ}\,(2\sin 10^\circ \cos 10^\circ)\cos 20^\circ \cos 40^\circ$$

$$= \frac{2}{\sin 10^\circ}\,(2\sin 20^\circ \cos 20^\circ)\cos 40^\circ = \frac{2\sin 40^\circ \cos 40^\circ}{\sin 10^\circ}$$

$$= \frac{\sin 80^\circ}{\sin 10^\circ} = \frac{\sin(90^\circ-10^\circ)}{\sin 10^\circ} = \frac{\cos 10^\circ}{\sin 10^\circ} = \ctg 10^\circ.$$

Следовательно, равенство доказано.

б) Аналогично:

$$\sin 70^\circ + 8\cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ = \sin 70^\circ + \frac{4}{\sin 20^\circ}(2\sin 20^\circ \cos 20^\circ)\cos 40^\circ \cos 80^\circ$$

$$= \sin 70^\circ + \frac{2}{\sin 20^\circ}(2\sin 40^\circ \cos 40^\circ)\cos 80^\circ = \sin 70^\circ + \frac{2\sin 80^\circ \cos 80^\circ}{\sin 20^\circ}$$

$$= \sin 70^\circ + \frac{\sin 160^\circ}{\sin 20^\circ} = \sin 70^\circ + \frac{\sin(180^\circ-20^\circ)}{\sin 20^\circ}$$

$$= \sin 70^\circ + \frac{\sin 20^\circ}{\sin 20^\circ} = \sin 70^\circ + 1.$$

Так как $$\sin 70^\circ=\cos 20^\circ,$$ а также $$1=\sin^2 10^\circ+\cos^2 10^\circ,$$ то

$$\sin 70^\circ + 1 = \cos 20^\circ + \sin^2 10^\circ + \cos^2 10^\circ = 2\cos^2 10^\circ.$$

Значит, равенство доказано.