Упр.27.22 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

а) $$\frac{\sin 125^\circ}{\sin 55^\circ}-\frac{\cos 125^\circ}{\cos 55^\circ}$$; б) $$\frac{\cos 150^\circ}{\sin 40^\circ}-\frac{\sin 150^\circ}{\cos 40^\circ}$$.

Подробный ответ

а) $$\frac{\sin 125^\circ}{\sin 55^\circ}-\frac{\cos 125^\circ}{\cos 55^\circ}$$

Используем формулы приведения:

$$\sin 125^\circ=\sin(180^\circ-55^\circ)=\sin 55^\circ,$$

$$\cos 125^\circ=\cos(180^\circ-55^\circ)=-\cos 55^\circ.$$

Тогда

$$\frac{\sin 125^\circ}{\sin 55^\circ}-\frac{\cos 125^\circ}{\cos 55^\circ}=\frac{\sin 55^\circ}{\sin 55^\circ}-\frac{-\cos 55^\circ}{\cos 55^\circ}=1-(-1)=2.$$

б) $$\frac{\cos 150^\circ}{\sin 40^\circ}-\frac{\sin 150^\circ}{\cos 40^\circ}$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{\cos 150^\circ\cos 40^\circ-\sin 150^\circ\sin 40^\circ}{\sin 40^\circ\cos 40^\circ}.$$

Числитель преобразуем по формуле косинуса суммы:

$$\cos 150^\circ\cos 40^\circ-\sin 150^\circ\sin 40^\circ=\cos(150^\circ+40^\circ)=\cos 190^\circ.$$

Значит,

$$\frac{\cos 190^\circ}{\sin 40^\circ\cos 40^\circ}.$$

Так как $$\cos 190^\circ=\cos(180^\circ+10^\circ)=-\cos 10^\circ,$$ а

$$\sin 40^\circ\cos 40^\circ=\frac12\sin 80^\circ=\frac12\cos 10^\circ,$$

то

$$\frac{\cos 190^\circ}{\sin 40^\circ\cos 40^\circ}=\frac{-\cos 10^\circ}{\frac12\cos 10^\circ}=-2.$$