Упр.27 Повторение ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Пусть уравнение имеет вид $$x^2+(m-2)x+(m+3)=0.$$

По теореме Виета:

$$x_1+x_2=2-m,\qquad x_1x_2=m+3.$$

Тогда

$$x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-2x_1x_2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(2-m)^2-2(m+3).$$

Вычислим:

$$(2-m)^2-2(m+3)=m^2-4m+4-2m-6=m^2-6m-2.$$

По условию это выражение равно $$10$$, значит

$$m^2-6m-2=10,$$

$$m^2-6m-12=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=(-6)^2-4\cdot 1\cdot(-12)=36+48=84,$$

$$m=\frac{6\pm\sqrt{84}}{2}=3\pm\sqrt{21}.$$

Ответ: $$m=3-\sqrt{21},\; 3+\sqrt{21}.$$