Упр.27.19 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Вычислите (с помощью формул понижения степени): а) $$\sin 22{,}5^\circ$$; б) $$\cos 22{,}5^\circ$$; в) $$\sin \frac{3\pi}{8}$$; г) $$\cos \frac{3\pi}{8}$$.

Используем формулы понижения степени:

$$\sin \frac{x}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}, \qquad \cos \frac{x}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}.$$

Так как углы $$22{,}5^\circ$$ и $$\frac{3\pi}{8}$$ лежат в первой четверти, все значения положительны.

1. $$\sin 22{,}5^\circ=\sqrt{\frac{1-\cos 45^\circ}{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt2}{2}}{2}}=\sqrt{\frac{2-\sqrt2}{4}}=\frac{\sqrt{2-\sqrt2}}{2}.$$

2. $$\cos 22{,}5^\circ=\sqrt{\frac{1+\cos 45^\circ}{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt2}{2}}{2}}=\sqrt{\frac{2+\sqrt2}{4}}=\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}{2}.$$

3. $$\sin \frac{3\pi}{8}=\sin 67{,}5^\circ=\sqrt{\frac{1-\cos \frac{3\pi}{4}}{2}}=\sqrt{\frac{1-\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)}{2}}=\sqrt{\frac{2+\sqrt2}{4}}=\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}{2}.$$

4. $$\cos \frac{3\pi}{8}=\cos 67{,}5^\circ=\sqrt{\frac{1+\cos \frac{3\pi}{4}}{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt2}{2}}{2}}=\sqrt{\frac{2-\sqrt2}{4}}=\frac{\sqrt{2-\sqrt2}}{2}.$$

Ответ: а) $$\frac{\sqrt{2-\sqrt2}}{2}$$; б) $$\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}{2}$$; в) $$\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}{2}$$; г) $$\frac{\sqrt{2-\sqrt2}}{2}$$.