Упр.27.16 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\cos x\cos 2x=\frac{\sin 4x}{4\sin x}$$;

б) $$\cos x\cos 2x\cos 4x=\frac{\sin 8x}{8\sin x}$$;

в) $$\sin x\cos 2x=\frac{\sin 4x}{4\cos x}$$;

г) $$\sin x\cos 2x\cos 4x=\frac{\sin 8x}{8\cos x}$$.

Преобразуем правые части равенств, используя формулы двойного угла:

1. $$\frac{\sin 4x}{4\sin x}=\frac{2\sin 2x\cos 2x}{4\sin x}=\frac{2\cdot 2\sin x\cos x\cos 2x}{4\sin x}=\cos x\cos 2x.$$

   Следовательно, $$\cos x\cos 2x=\frac{\sin 4x}{4\sin x}.$$

2. $$\frac{\sin 8x}{8\sin x}=\frac{2\sin 4x\cos 4x}{8\sin x}=\frac{2\cdot 2\sin 2x\cos 2x\cos 4x}{8\sin x}=\frac{2\cdot 2\cdot 2\sin x\cos x\cos 2x\cos 4x}{8\sin x}=\cos x\cos 2x\cos 4x.$$

   Следовательно, $$\cos x\cos 2x\cos 4x=\frac{\sin 8x}{8\sin x}.$$

3. $$\frac{\sin 4x}{4\cos x}=\frac{2\sin 2x\cos 2x}{4\cos x}=\frac{2\cdot 2\sin x\cos x\cos 2x}{4\cos x}=\sin x\cos 2x.$$

   Следовательно, $$\sin x\cos 2x=\frac{\sin 4x}{4\cos x}.$$

4. $$\frac{\sin 8x}{8\cos x}=\frac{2\sin 4x\cos 4x}{8\cos x}=\frac{2\cdot 2\sin 2x\cos 2x\cos 4x}{8\cos x}=\frac{2\cdot 2\cdot 2\sin x\cos x\cos 2x\cos 4x}{8\cos x}=\sin x\cos 2x\cos 4x.$$

   Следовательно, $$\sin x\cos 2x\cos 4x=\frac{\sin 8x}{8\cos x}.$$

Ответ: все четыре тождества верны.