Упр.27.15 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Преобразуем левую часть, используя формулы

$$\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}, \qquad \cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x.$$

Тогда

$$\cos^2 t-\cos^2\left(\frac{\pi}{4}-t\right) =\frac{1+\cos 2t}{2}-\frac{1+\cos\left(\frac{\pi}{2}-2t\right)}{2}$$

$$=\frac{\cos 2t-\sin 2t}{2}.$$

С другой стороны,

$$\frac{1}{\sqrt2}\sin\left(\frac{\pi}{4}-2t\right) =\frac{1}{\sqrt2}\left(\sin\frac{\pi}{4}\cos 2t-\cos\frac{\pi}{4}\sin 2t\right)$$

$$=\frac{1}{\sqrt2}\left(\frac{\sqrt2}{2}\cos 2t-\frac{\sqrt2}{2}\sin 2t\right) =\frac{\cos 2t-\sin 2t}{2}.$$

Следовательно,

$$\cos^2 t-\cos^2\left(\frac{\pi}{4}-t\right)=\frac{1}{\sqrt2}\sin\left(\frac{\pi}{4}-2t\right).$$

б) Используем формулу

$$\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}.$$

Тогда

$$\sin^2 t-\sin^2\left(\frac{\pi}{4}-t\right) =\frac{1-\cos 2t}{2}-\frac{1-\cos\left(\frac{\pi}{2}-2t\right)}{2}$$

$$=\frac{\sin 2t-\cos 2t}{2}.$$

Преобразуем правую часть:

$$\frac{1}{\sqrt2}\sin\left(2t-\frac{\pi}{4}\right) =\frac{1}{\sqrt2}\left(\sin 2t\cos\frac{\pi}{4}-\cos 2t\sin\frac{\pi}{4}\right)$$

$$=\frac{1}{\sqrt2}\left(\frac{\sqrt2}{2}\sin 2t-\frac{\sqrt2}{2}\cos 2t\right) =\frac{\sin 2t-\cos 2t}{2}.$$

Значит,

$$\sin^2 t-\sin^2\left(\frac{\pi}{4}-t\right)=\frac{1}{\sqrt2}\sin\left(2t-\frac{\pi}{4}\right).$$

Ответ: тождества верны.