Упр.27.14 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- а) $$\frac{1-\cos 2t+\sin 2t}{1+\cos 2t+\sin 2t}=\tg t$$;
б) $$\frac{1+\cos 2t-\sin 2t}{1+\cos 2t+\sin 2t}=\tg\left(\frac{\pi}{4}-t\right)$$.
а) Преобразуем выражение:
$$\frac{1-\cos 2t+\sin 2t}{1+\sin 2t+\cos 2t} = \frac{1-(1-2\sin^2 t)+2\sin t\cos t}{1+2\sin t\cos t+(1-2\sin^2 t)}$$
$$= \frac{2\sin^2 t+2\sin t\cos t}{2\cos^2 t+2\sin t\cos t} = \frac{2\sin t(\sin t+\cos t)}{2\cos t(\cos t+\sin t)} = \frac{\sin t}{\cos t} = \tg t.$$
Тождество доказано.
б) Аналогично:
$$\frac{1+\cos 2t-\sin 2t}{1+\sin 2t+\cos 2t} = \frac{1+(1-2\sin^2 t)-2\sin t\cos t}{1+2\sin t\cos t+(1-2\sin^2 t)}$$
$$= \frac{2\cos^2 t-2\sin t\cos t}{2\cos^2 t+2\sin t\cos t} = \frac{2\cos t(\cos t-\sin t)}{2\cos t(\cos t+\sin t)} = \frac{\cos t-\sin t}{\cos t+\sin t}.$$
Используем формулу:
$$\tg\left(\frac{\pi}{4}-t\right) = \frac{\tg\frac{\pi}{4}-\tg t}{1+\tg\frac{\pi}{4}\tg t} = \frac{1-\tg t}{1+\tg t} = \frac{\cos t-\sin t}{\cos t+\sin t}.$$
Следовательно,
$$\frac{1+\cos 2t-\sin 2t}{1+\sin 2t+\cos 2t} = \tg\left(\frac{\pi}{4}-t\right).$$
Тождество доказано.
Ответ: а) $$\tg t$$; б) $$\tg\left(\frac{\pi}{4}-t\right)$$.
