Упр.27.13 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Подробный ответ

а) Преобразуем левую часть:

$$\frac{\sin 2t}{1+\cos 2t}\cdot \frac{\cos t}{1+\cos t} = \frac{2\sin t\cos t}{1+\cos 2t}\cdot \frac{\cos t}{1+\cos t}$$

Так как $$1+\cos 2t=2\cos^2 t,$$ получаем

$$\frac{2\sin t\cos t}{2\cos^2 t}\cdot \frac{\cos t}{1+\cos t} = \frac{\sin t}{\cos t}\cdot \frac{1}{1+\cos t}.$$

Используем формулу $$1+\cos t=2\cos^2 \frac t2,$$ а также $$\sin t=2\sin \frac t2\cos \frac t2,$$ тогда

$$\frac{\sin t}{1+\cos t} = \frac{2\sin \frac t2\cos \frac t2}{2\cos^2 \frac t2} = \frac{\sin \frac t2}{\cos \frac t2} = \tg \frac t2.$$

Следовательно,

$$\frac{\sin 2t}{1+\cos 2t}\cdot \frac{\cos t}{1+\cos t}=\tg \frac t2.$$

б) Аналогично:

$$\frac{\sin 2t}{1+\cos 2t}\cdot \frac{\cos t}{1+\cos t}\cdot \frac{\cos \frac t2}{1+\cos \frac t2}$$

Из пункта а) имеем

$$\frac{\sin 2t}{1+\cos 2t}\cdot \frac{\cos t}{1+\cos t}=\tg \frac t2.$$

Тогда

$$\tg \frac t2\cdot \frac{\cos \frac t2}{1+\cos \frac t2}.$$

Преобразуем $$\tg \frac t2=\frac{\sin \frac t2}{\cos \frac t2}$$ и $$1+\cos \frac t2=2\cos^2 \frac t4,$$ $$\sin \frac t2=2\sin \frac t4\cos \frac t4$$:

$$\frac{\sin \frac t2}{\cos \frac t2}\cdot \frac{\cos \frac t2}{1+\cos \frac t2} = \frac{\sin \frac t2}{1+\cos \frac t2} = \frac{2\sin \frac t4\cos \frac t4}{2\cos^2 \frac t4} = \frac{\sin \frac t4}{\cos \frac t4} = \tg \frac t4.$$

Значит,

$$\frac{\sin 2t}{1+\cos 2t}\cdot \frac{\cos t}{1+\cos t}\cdot \frac{\cos \frac t2}{1+\cos \frac t2} = \tg \frac t4.$$