Упр.27.12 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Докажите тождество:
   а) $$\frac{\cos 2t}{\sin t\cos t+\sin^2 t}=\operatorname{ctg}(\pi+t)-1$$;
   б) $$\frac{\sin 2t-2\sin\left(\frac{\pi}{2}-t\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{2}-t\right)-\sin^2 t}=-2\operatorname{ctg}t$$;
   в) $$\left(\operatorname{ctg}t-\operatorname{tg}t\right)\sin 2t=2\cos 2t$$;
   г) $$\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2}-t\right)\frac{1-\cos 2t+\sin 2t}{1+\cos 2t+\sin 2t}=1$$.

а) $$\frac{\cos 2t}{\sin t\cos t+\sin^2 t}=\frac{\cos^2 t-\sin^2 t}{\sin t(\cos t+\sin t)}=\frac{(\cos t-\sin t)(\cos t+\sin t)}{\sin t(\cos t+\sin t)}=\frac{\cos t-\sin t}{\sin t}=\frac{\cos t}{\sin t}-1=\ctg t-1.$$

Так как $$\ctg(\pi+t)=\ctg t,$$ то

$$\frac{\cos 2t}{\sin t\cos t+\sin^2 t}=\ctg(\pi+t)-1.$$

Тождество доказано.

б) $$\frac{\sin 2t-2\sin\left(\frac{\pi}{2}-t\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{2}-t\right)-\sin^2 t}=\frac{2\sin t\cos t-2\cos t}{\sin t-\sin^2 t}=\frac{2\cos t(\sin t-1)}{\sin t(\,1-\sin t\,)}=-2\frac{\cos t}{\sin t}=-2\ctg t.$$

Тождество доказано.

в) $$\left(\ctg t-\tg t\right)\sin 2t=\left(\frac{\cos t}{\sin t}-\frac{\sin t}{\cos t}\right)2\sin t\cos t$$

$$=\frac{\cos^2 t-\sin^2 t}{\sin t\cos t}\cdot 2\sin t\cos t=2(\cos^2 t-\sin^2 t)=2\cos 2t.$$

Тождество доказано.

г) $$\tg\left(\frac{\pi}{2}-t\right)\cdot \frac{1-\cos 2t+\sin 2t}{1+\cos 2t+\sin 2t}=\ctg t\cdot \frac{1-\cos 2t+\sin 2t}{1+\cos 2t+\sin 2t}.$$

Преобразуем дробь:

$$\frac{1-\cos 2t+\sin 2t}{1+\cos 2t+\sin 2t}=\frac{2\sin^2 t+2\sin t\cos t}{2\cos^2 t+2\sin t\cos t}=\frac{2\sin t(\sin t+\cos t)}{2\cos t(\cos t+\sin t)}=\frac{\sin t}{\cos t}=\tg t.$$

Тогда

$$\ctg t\cdot \tg t=1.$$

Тождество доказано.

Ответ: а) $$\ctg(\pi+t)-1$$; б) $$-2\ctg t$$; в) $$2\cos 2t$$; г) $$1$$.