Упр.27.11 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
а) $$1+\sin\alpha=2\cos^2\left(45^\circ-\frac{\alpha}{2}\right)$$
б) $$2\sin^2\left(45^\circ-\alpha\right)+\sin 2\alpha=1$$
в) $$1-\sin\alpha=2\sin^2\left(45^\circ-\frac{\alpha}{2}\right)$$
г) $$2\cos^2\left(45^\circ-\alpha\right)+\sin 2\alpha=1$$
Используем формулы:
$$\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}, \qquad \sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}, \qquad \cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x.$$
$$1+\sin a=2\cos^2\left(45^\circ-\frac a2\right).$$
Преобразуем правую часть:
$$2\cos^2\left(45^\circ-\frac a2\right)=2\cdot \frac{1+\cos\left(90^\circ-a\right)}{2}=1+\cos\left(90^\circ-a\right).$$
Так как $$\cos\left(90^\circ-a\right)=\sin a,$$ то
$$1+\cos\left(90^\circ-a\right)=1+\sin a.$$
Следовательно, тождество верно.
$$2\sin^2(45^\circ-a)+\sin 2a=1.$$
Преобразуем:
$$2\sin^2(45^\circ-a)=2\cdot \frac{1-\cos(90^\circ-2a)}{2}=1-\cos(90^\circ-2a).$$
Так как $$\cos(90^\circ-2a)=\sin 2a,$$ получаем
$$1-\sin 2a+\sin 2a=1.$$
Тождество доказано.
$$1-\sin a=2\sin^2\left(45^\circ-\frac a2\right).$$
Преобразуем правую часть:
$$2\sin^2\left(45^\circ-\frac a2\right)=2\cdot \frac{1-\cos\left(90^\circ-a\right)}{2}=1-\cos\left(90^\circ-a\right).$$
Так как $$\cos\left(90^\circ-a\right)=\sin a,$$ то
$$1-\cos\left(90^\circ-a\right)=1-\sin a.$$
Тождество верно.
$$2\cos^2(45^\circ+a)+\sin 2a=1.$$
Преобразуем:
$$2\cos^2(45^\circ+a)=2\cdot \frac{1+\cos(90^\circ+2a)}{2}=1+\cos(90^\circ+2a).$$
Так как $$\cos(90^\circ+2a)=-\sin 2a,$$ получаем
$$1-\sin 2a+\sin 2a=1.$$
Тождество доказано.
Ответ: все четыре равенства являются тождествами.
