Упр.26.37 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Постройте график функции: а) $$y=\arcsin(\sin x)$$; б) $$y=\arcsin(\cos x)$$.

Функция $$y=\arcsin(\sin x)$$ периодическая с периодом $$2\pi$$ и нечётная. Достаточно построить её на отрезке $$[0;\pi]$$.

Если $$0\le x\le \frac{\pi}{2},$$ то $$\sin x\in[0;1]$$ и

$$y=\arcsin(\sin x)=x.$$

Если $$\frac{\pi}{2}\le x\le \pi,$$ то $$\sin x=\sin(\pi-x),$$ где $$\pi-x\in\left[0;\frac{\pi}{2}\right],$$ значит

$$y=\arcsin(\sin x)=\arcsin(\sin(\pi-x))=\pi-x.$$

Следовательно, на отрезке $$[0;\pi]$$

$$y= \begin{cases} x, & 0\le x\le \frac{\pi}{2},\\ \pi-x, & \frac{\pi}{2}\le x\le \pi. \end{cases}$$

Далее график продолжается периодически с периодом $$2\pi$$ и симметрично относительно начала координат.

Для функции $$y=\arcsin(\cos x)$$ также используем периодичность с периодом $$2\pi$$. На отрезке $$[0;\pi]$$ имеем

$$\cos x=\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right).$$

Так как при $$0\le x\le \pi$$ число $$\frac{\pi}{2}-x\in\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right],$$ то

$$y=\arcsin(\cos x)=\arcsin\left(\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\right)=\frac{\pi}{2}-x.$$

Значит, на отрезке $$[0;\pi]$$ график — это отрезок прямой

$$y=\frac{\pi}{2}-x,$$

а затем он продолжается периодически с периодом $$2\pi$$.

Ответ:

а) $$y=\begin{cases} x, & 0\le x\le \frac{\pi}{2},\\ \pi-x, & \frac{\pi}{2}\le x\le \pi, \end{cases}$$ далее продолжение с периодом $$2\pi$$ и нечётностью.

б) $$y=\frac{\pi}{2}-x,\quad 0\le x\le \pi,$$ далее продолжение с периодом $$2\pi$$.