Упр.26.36 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Вычислите: а) $$\arcsin\left(-\cos\frac{4\pi}{5}\right)$$; б) $$\arccos\left(\cos\left(-\frac{24\pi}{5}\right)\right)$$; в) $$\operatorname{arctg}\left(\operatorname{ctg}\left(-\frac{21\pi}{5}\right)\right)$$; г) $$\operatorname{arcctg}\left(\operatorname{tg}\frac{27\pi}{7}\right)$$.

Используем области значений обратных тригонометрических функций:

• $$\arcsin x \in \left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$$
• $$\arccos x \in [0;\pi]$$
• $$\arctg x \in \left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)$$
• $$\arcctg x \in (0;\pi)$$

а) $$\arcsin\left(-\cos\frac{4\pi}{5}\right)=\arcsin\left(-\cos\left(\pi-\frac{\pi}{5}\right)\right)=\arcsin\left(\cos\frac{\pi}{5}\right).$$

Так как $$\cos\frac{\pi}{5}=\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{5}\right)=\sin\frac{3\pi}{10},$$ то

$$\arcsin\left(-\cos\frac{4\pi}{5}\right)=\arcsin\left(\sin\frac{3\pi}{10}\right)=\frac{3\pi}{10}.$$

б) $$\arccos\left(\cos\left(-\frac{24\pi}{5}\right)\right)=\arccos\left(\cos\frac{24\pi}{5}\right)=\arccos\left(\cos\left(4\pi+\frac{4\pi}{5}\right)\right).$$

С учётом периодичности косинуса получаем:

$$\arccos\left(\cos\left(-\frac{24\pi}{5}\right)\right)=\arccos\left(\cos\frac{4\pi}{5}\right)=\frac{4\pi}{5}.$$

в) $$\arctg\left(\ctg\left(-\frac{21\pi}{5}\right)\right)=\arctg\left(\ctg\left(-4\pi-\frac{\pi}{5}\right)\right)=\arctg\left(\ctg\left(-\frac{\pi}{5}\right)\right).$$

Так как $$\ctg\left(-\frac{\pi}{5}\right)=-\ctg\frac{\pi}{5}=-\tg\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{5}\right)=-\tg\frac{3\pi}{10},$$ то

$$\arctg\left(\ctg\left(-\frac{21\pi}{5}\right)\right)=\arctg\left(-\tg\frac{3\pi}{10}\right)=-\frac{3\pi}{10}.$$

г) $$\arcctg\left(\tg\frac{27\pi}{7}\right)=\arcctg\left(\tg\left(3\pi+\frac{6\pi}{7}\right)\right)=\arcctg\left(\tg\frac{6\pi}{7}\right).$$

Преобразуем:

$$\tg\frac{6\pi}{7}=\tg\left(\pi-\frac{\pi}{7}\right)=-\tg\frac{\pi}{7}=\ctg\frac{9\pi}{14}.$$

Значит,

$$\arcctg\left(\tg\frac{27\pi}{7}\right)=\arcctg\left(\ctg\frac{9\pi}{14}\right)=\frac{9\pi}{14}.$$

Ответ: а) $$\frac{3\pi}{10}$$; б) $$\frac{4\pi}{5}$$; в) $$-\frac{3\pi}{10}$$; г) $$\frac{9\pi}{14}$$.