Упр.26.35 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Вычислите: а) $$\arcsin\left(\sin\frac{2\pi}{5}\right)$$; б) $$\arccos\left(\sin\frac{2\pi}{5}\right)$$; в) $$\arcsin\left(\sin\left(-\frac{2\pi}{5}\right)\right)$$; г) $$\arccos\left(\cos\left(-\frac{2\pi}{5}\right)\right)$$.

Используем значения обратных тригонометрических функций на их основных промежутках:

$$\arcsin x \in \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right], \qquad \arccos x \in \left[0,\pi\right].$$

1. $$\arcsin\left(\sin\frac{2\pi}{5}\right)=\frac{2\pi}{5},$$
   так как $$\frac{2\pi}{5}\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right].$$

2. $$\arccos\left(\sin\frac{2\pi}{5}\right)=\arccos\left(\cos\frac{\pi}{10}\right)=\frac{\pi}{10},$$
   поскольку
   $$\sin\frac{2\pi}{5}=\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{10}\right)=\cos\frac{\pi}{10}.$$

3. $$\arcsin\left(\sin\left(-\frac{2\pi}{5}\right)\right)=-\arcsin\left(\sin\frac{2\pi}{5}\right)=-\frac{2\pi}{5}.$$

4. $$\arccos\left(\cos\left(-\frac{2\pi}{5}\right)\right)=\arccos\left(\cos\frac{2\pi}{5}\right)=\frac{2\pi}{5},$$
   так как косинус — чётная функция, а $$\frac{2\pi}{5}\in[0,\pi].$$

Ответ: а) $$\frac{2\pi}{5}$$; б) $$\frac{\pi}{10}$$; в) $$-\frac{2\pi}{5}$$; г) $$\frac{2\pi}{5}$$.