Упр.26.34 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Докажите, что:
   а) $$\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi}{2},\quad x\in[-1;1]$$;
   б) $$\operatorname{arctg}x+\operatorname{arcctg}x=\frac{\pi}{2},\quad x\in\mathbb{R}$$.

а) Пусть $$\arcsin x = \alpha,$$ тогда $$x=\sin \alpha,$$ где $$\alpha \in \left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right].$$

Тогда $$\arccos x=\frac{\pi}{2}-\alpha,$$ так как для значений арксинуса и арккосинуса выполняется

$$\arcsin x \in \left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right], \qquad \arccos x \in [0;\pi].$$

Проверим:

$$\sin\left(\frac{\pi}{2}-\arccos x\right)=\cos(\arccos x)=x.$$

Значит,

$$\arcsin x=\frac{\pi}{2}-\arccos x,$$

откуда

$$\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi}{2}.$$

б) Пусть $$\arctg x=\alpha,$$ тогда $$x=\tg \alpha,$$ где $$\alpha \in \left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right).$$

Тогда $$\arcctg x=\frac{\pi}{2}-\alpha,$$ поскольку

$$\arcctg x \in (0;\pi).$$

Проверим:

$$\tg\left(\frac{\pi}{2}-\arcctg x\right)=\ctg(\arcctg x)=x.$$

Следовательно,

$$\arctg x=\frac{\pi}{2}-\arcctg x,$$

и значит

$$\arctg x+\arcctg x=\frac{\pi}{2}.$$

Ответ: $$\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi}{2}, \quad x\in[-1;1]; \qquad \arctg x+\arcctg x=\frac{\pi}{2}, \quad x\in\mathbb{R}.$$