Упр.26.33 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Докажите неравенство:
- а) $$\frac{\sin 50^\circ+\cos 50^\circ}{\sqrt{2}\sin 85^\circ}=1$$;
- б) $$\frac{\cos 40^\circ-\sqrt{3}\sin 40^\circ}{\sin 190^\circ}=2$$.
а) Преобразуем числитель и знаменатель:
$$\frac{\sin 50^\circ+\cos 50^\circ}{\sqrt2\sin 85^\circ} = \frac{\sin(45^\circ+5^\circ)+\cos(45^\circ+5^\circ)}{\sqrt2\sin(90^\circ-5^\circ)}.$$
По формулам сложения:
$$\sin(45^\circ+5^\circ)=\sin45^\circ\cos5^\circ+\cos45^\circ\sin5^\circ,$$
$$\cos(45^\circ+5^\circ)=\cos45^\circ\cos5^\circ-\sin45^\circ\sin5^\circ.$$
Тогда
$$\sin50^\circ+\cos50^\circ = \frac{\sqrt2}{2}\cos5^\circ+\frac{\sqrt2}{2}\sin5^\circ+\frac{\sqrt2}{2}\cos5^\circ-\frac{\sqrt2}{2}\sin5^\circ = \sqrt2\cos5^\circ.$$
Кроме того,
$$\sin85^\circ=\sin(90^\circ-5^\circ)=\cos5^\circ.$$
Следовательно,
$$\frac{\sin 50^\circ+\cos 50^\circ}{\sqrt2\sin 85^\circ} = \frac{\sqrt2\cos5^\circ}{\sqrt2\cos5^\circ} =1.$$
б) Используем, что $$\sqrt3=\tan60^\circ=\dfrac{\sin60^\circ}{\cos60^\circ}$$ и $$\sin190^\circ=\sin(90^\circ+100^\circ)=\cos100^\circ.$$ Тогда
$$\frac{\cos40^\circ-\sqrt3\sin40^\circ}{\sin190^\circ} = \frac{\cos40^\circ-\dfrac{\sin60^\circ}{\cos60^\circ}\sin40^\circ}{\cos100^\circ}.$$
Приведём числитель к общему знаменателю:
$$\cos40^\circ-\frac{\sin60^\circ}{\cos60^\circ}\sin40^\circ = \frac{\cos40^\circ\cos60^\circ-\sin60^\circ\sin40^\circ}{\cos60^\circ} = \frac{\cos(40^\circ+60^\circ)}{\cos60^\circ} = \frac{\cos100^\circ}{\cos60^\circ}.$$
Тогда
$$\frac{\cos40^\circ-\sqrt3\sin40^\circ}{\sin190^\circ} = \frac{\cos100^\circ}{\cos60^\circ\cos100^\circ} = \frac{1}{\cos60^\circ} =2.$$
Ответ
а) $$1$$; б) $$2$$.
