Упр.26.32 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Постройте график функции:
- $$y=\sin(3\pi+3x)\sin\left(\frac{3\pi}{2}-x\right)+\sin\left(\frac{\pi}{2}+3x\right)\sin(4\pi-x)+\sin\frac{99\pi}{2}$$
- $$y=\cos(\pi+3x)\cos\left(3\pi-\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)\frac{\cos(3\pi+x)}{2}+\cos\frac{16\pi}{3}$$
а) Упростим выражение:
$$\begin{aligned} y&=\sin(3\pi+3x)\sin\left(\frac{3\pi}{2}-x\right)+\sin\left(\frac{\pi}{2}+3x\right)\sin(4\pi-x)+\sin\frac{99\pi}{2} \\ &=(-\sin 3x)(-\cos x)+(\cos 3x)(-\sin x)+\sin\frac{99\pi}{2} \\ &=\sin 3x\cos x-\cos 3x\sin x-1 \\ &=\sin(3x-x)-1 \\ &=\sin 2x-1. \end{aligned}$$
График функции $$y=\sin 2x-1$$ получаем из графика $$y=\sin x$$:
- сжимаем его к оси $$Oy$$ в 2 раза;
- сдвигаем на 1 единицу вниз.
Это синусоида с амплитудой $$1$$, осью колебаний $$y=-1$$ и периодом $$\pi$$.
б) Упростим выражение:
$$\begin{aligned} y&=\cos(\pi+x)\cos\left(3\pi-\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)\cos\frac{3\pi+x}{2}+\cos\frac{16\pi}{3} \\ &=(-\cos x)\left(-\cos\frac{x}{2}\right)-(-\sin x)\cos\left(\frac{3\pi}{2}+\frac{x}{2}\right)+\cos\frac{16\pi}{3} \\ &=\cos x\cos\frac{x}{2}+\sin x\sin\frac{x}{2}-\frac12 \\ &=\cos\left(x-\frac{x}{2}\right)-\frac12 \\ &=\cos\frac{x}{2}-\frac12. \end{aligned}$$
График функции $$y=\cos\frac{x}{2}-\frac12$$ получаем из графика $$y=\cos x$$:
- растягиваем его от оси $$Oy$$ в 2 раза;
- сдвигаем на $$\frac12$$ единицы вниз.
Это косинусоида с амплитудой $$1$$, осью колебаний $$y=-\frac12$$ и периодом $$4\pi$$.
Ответ
а) $$y=\sin 2x-1$$; б) $$y=\cos\frac{x}{2}-\frac12$$.
