Упр.26.31 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$\sin^2 x+\cos^2 2x+\cos^2\left(\frac{3\pi}{2}+2x\right)+2\cos x\tg x=1$$; б) $$2\cos^2 x-\sin\left(x-\frac{\pi}{2}\right)+\tg x\ \tg\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=0$$.

а) Преобразуем левую часть:

$$\sin^2 x+\cos^2 2x+\cos^2\left(\frac{3\pi}{2}+2x\right)+2\cos x\tg x=1$$

Так как $$\cos\left(\frac{3\pi}{2}+2x\right)=\sin 2x,$$ то

$$\sin^2 x+\cos^2 2x+\sin^2 2x+2\cos x\cdot \frac{\sin x}{\cos x}=1.$$

Используем тождество $$\cos^2 2x+\sin^2 2x=1$$:

$$\sin^2 x+1+2\sin x=1.$$

$$\sin^2 x+2\sin x=0$$

$$\sin x(\sin x+2)=0.$$

Отсюда:

$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=-2.$$

Уравнение $$\sin x=-2$$ решений не имеет, поэтому

$$x=\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

Ответ: $$\pi n,\ n\in \mathbb Z.$$

б) Преобразуем выражение:

$$2\cos^2 x-\sin\left(x-\frac{\pi}{2}\right)+\tg x\cdot \tg\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=0.$$

Так как $$\sin\left(x-\frac{\pi}{2}\right)=-\cos x,$$ а $$\tg\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=-\ctg x,$$ получаем

$$2\cos^2 x+\cos x-\tg x\cdot \ctg x=0.$$

Поскольку $$\tg x\cdot \ctg x=1,$$ имеем

$$2\cos^2 x+\cos x-1=0.$$

Положим $$y=\cos x$$. Тогда

$$2y^2+y-1=0.$$

$$D=1+8=9,$$

$$y_1=\frac{-1-3}{4}=-1,\qquad y_2=\frac{-1+3}{4}=\frac12.$$

1) Если $$\cos x=-1,$$ то

$$x=\pi+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

2) Если $$\cos x=\frac12,$$ то

$$x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

Но исходное выражение определено только при $$\cos\left(x+\frac{\pi}{2}\right)\neq 0,$$ то есть при $$\cos x\neq 0.$$ Полученные значения этому условию не противоречат.

Ответ: $$x=\pi+2\pi n,\ \ x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in \mathbb Z.$$