Упр.26.30 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$3\operatorname{tg}^2\frac{x}{2}-2\operatorname{ctg}\left(\frac{3\pi}{2}+\frac{x}{2}\right)-1=0$$;
   б) $$\operatorname{tg}(\pi+x)+2\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2}+x\right)+1=0$$;
   в) $$3\operatorname{tg}^2 4x-2\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2}-4x\right)=1$$;
   г) $$2\operatorname{ctg}x-3\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2}-x\right)+5=0$$.

а) $$3\tg^2\frac{x}{2}-2\ctg\left(\frac{3\pi}{2}+\frac{x}{2}\right)-1=0$$

Так как $$\ctg\left(\frac{3\pi}{2}+\frac{x}{2}\right)=\ctg\left(\frac{\pi}{2}+\frac{x}{2}\right)=-\tg\frac{x}{2},$$ получаем

$$3\tg^2\frac{x}{2}+2\tg\frac{x}{2}-1=0.$$

Пусть $$y=\tg\frac{x}{2}.$$ Тогда

$$3y^2+2y-1=0,$$

$$D=2^2-4\cdot 3\cdot(-1)=16,$$

$$y_1=\frac{-2-4}{6}=-1,\qquad y_2=\frac{-2+4}{6}=\frac13.$$

1) $$\tg\frac{x}{2}=-1 \Rightarrow \frac{x}{2}=-\frac{\pi}{4}+\pi n \Rightarrow x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n.$$

2) $$\tg\frac{x}{2}=\frac13 \Rightarrow \frac{x}{2}=\arctg\frac13+\pi n \Rightarrow x=2\arctg\frac13+2\pi n.$$

б) $$\tg(\pi+x)+2\tg\left(\frac{\pi}{2}+x\right)+1=0$$

Используем формулы:

$$\tg(\pi+x)=\tg x,\qquad \tg\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=-\ctg x.$$

Тогда

$$\tg x-2\ctg x+1=0.$$

Пусть $$y=\tg x.$$ Тогда $$\ctg x=\frac1y,$$ и

$$y-\frac{2}{y}+1=0,$$

$$y^2+y-2=0,$$

$$D=1+8=9,$$

$$y_1=-2,\qquad y_2=1.$$

1) $$\tg x=-2 \Rightarrow x=-\arctg 2+\pi n.$$

2) $$\tg x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\pi n.$$

в) $$3\tg^2 4x-2\ctg\left(\frac{\pi}{2}-4x\right)=1$$

Так как $$\ctg\left(\frac{\pi}{2}-4x\right)=\tg 4x,$$ получаем

$$3\tg^2 4x-2\tg 4x-1=0.$$

Пусть $$y=\tg 4x.$$ Тогда

$$3y^2-2y-1=0,$$

$$D=(-2)^2-4\cdot 3\cdot(-1)=16,$$

$$y_1=-\frac13,\qquad y_2=1.$$

1) $$\tg 4x=-\frac13 \Rightarrow 4x=-\arctg\frac13+\pi n \Rightarrow x=-\frac14\arctg\frac13+\frac{\pi n}{4}.$$

2) $$\tg 4x=1 \Rightarrow 4x=\frac{\pi}{4}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{4}.$$

г) $$2\ctg x-3\ctg\left(\frac{\pi}{2}-x\right)+5=0$$

Так как $$\ctg\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\tg x,$$ имеем

$$2\ctg x-3\tg x+5=0.$$

Пусть $$y=\tg x,$$ тогда $$\ctg x=\frac1y.$$ Получаем

$$\frac{2}{y}-3y+5=0,$$

$$2-3y^2+5y=0,$$

$$3y^2-5y-2=0,$$

$$D=25+24=49,$$

$$y_1=-\frac13,\qquad y_2=2.$$

1) $$\tg x=-\frac13 \Rightarrow x=-\arctg\frac13+\pi n.$$

2) $$\tg x=2 \Rightarrow x=\arctg 2+\pi n.$$

Ответ: а) $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\; x=2\arctg\frac13+2\pi n$$; б) $$x=-\arctg 2+\pi n,\; x=\frac{\pi}{4}+\pi n$$; в) $$x=-\frac14\arctg\frac13+\frac{\pi n}{4},\; x=\frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{4}$$; г) $$x=-\arctg\frac13+\pi n,\; x=\arctg 2+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$