Упр.26.26 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$\sin^2 x+\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)-2\cos^2 x=0$$;
   б) $$\sin^2 3x+3\cos^2 3x-4\sin\left(\frac{\pi}{2}+3x\right)\cos\left(\frac{\pi}{2}+3x\right)=0$$;
   в) $$\sin^2 x+2\sin(\pi-x)\cos x-3\cos^2(2\pi-x)=0$$;
   г) $$\sin^2(2\pi-3x)+5\sin(\pi-3x)\cos 3x+4\sin^2\left(\frac{3\pi}{2}-3x\right)=0$$.

a) $$\sin^2 x+\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)-2\cos^2 x=0$$

Используем формулы $$\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x$$ и $$\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x$$:

$$\sin^2 x+\sin x\cos x-2\cos^2 x=0.$$

При $$\cos x\neq 0$$ делим на $$\cos^2 x$$:

$$\tg^2 x+\tg x-2=0.$$

Пусть $$y=\tg x$$. Тогда

$$y^2+y-2=0,$$

$$D=1+8=9,$$

$$y_1=\frac{-1-3}{2}=-2,\qquad y_2=\frac{-1+3}{2}=1.$$

Следовательно,

$$\tg x=-2 \quad \text{или} \quad \tg x=1.$$

Отсюда

$$x=-\arctg 2+\pi n,\qquad x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\qquad n\in\mathbb{Z}.$$

б) $$\sin^2 3x+3\cos^2 3x-4\sin\left(\frac{\pi}{2}+3x\right)\cos\left(\frac{\pi}{2}+3x\right)=0$$

Так как $$\sin\left(\frac{\pi}{2}+3x\right)=\cos 3x$$ и $$\cos\left(\frac{\pi}{2}+3x\right)=-\sin 3x,$$ получаем:

$$\sin^2 3x+3\cos^2 3x+4\sin 3x\cos 3x=0.$$

При $$\cos 3x\neq 0$$ делим на $$\cos^2 3x$$:

$$\tg^2 3x+4\tg 3x+3=0.$$

Пусть $$y=\tg 3x$$. Тогда

$$y^2+4y+3=0,$$

$$D=16-12=4,$$

$$y_1=\frac{-4-2}{2}=-3,\qquad y_2=\frac{-4+2}{2}=-1.$$

Значит,

$$\tg 3x=-3 \quad \text{или} \quad \tg 3x=-1.$$

Отсюда

$$x=-\frac{1}{3}\arctg 3+\frac{\pi n}{3},\qquad x=-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{3},\qquad n\in\mathbb{Z}.$$

в) $$\sin^2 x+2\sin(\pi-x)\cos x-3\cos^2(2\pi-x)=0$$

Используем формулы $$\sin(\pi-x)=\sin x$$ и $$\cos(2\pi-x)=\cos x$$:

$$\sin^2 x+2\sin x\cos x-3\cos^2 x=0.$$

При $$\cos x\neq 0$$ делим на $$\cos^2 x$$:

$$\tg^2 x+2\tg x-3=0.$$

Пусть $$y=\tg x$$. Тогда

$$y^2+2y-3=0,$$

$$D=4+12=16,$$

$$y_1=\frac{-2-4}{2}=-3,\qquad y_2=\frac{-2+4}{2}=1.$$

Следовательно,

$$\tg x=-3 \quad \text{или} \quad \tg x=1.$$

Отсюда

$$x=-\arctg 3+\pi n,\qquad x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\qquad n\in\mathbb{Z}.$$

г) $$\sin^2(2\pi-3x)+5\sin(\pi-3x)\cos 3x+4\sin^2\left(\frac{3\pi}{2}-3x\right)=0$$

Преобразуем тригонометрические функции:

$$\sin(2\pi-3x)=-\sin 3x,\qquad \sin(\pi-3x)=\sin 3x,\qquad \sin\left(\frac{3\pi}{2}-3x\right)=-\cos 3x.$$

Тогда

$$\sin^2 3x+5\sin 3x\cos 3x+4\cos^2 3x=0.$$

При $$\cos 3x\neq 0$$ делим на $$\cos^2 3x$$:

$$\tg^2 3x+5\tg 3x+4=0.$$

Пусть $$y=\tg 3x$$. Тогда

$$y^2+5y+4=0,$$

$$D=25-16=9,$$

$$y_1=\frac{-5-3}{2}=-4,\qquad y_2=\frac{-5+3}{2}=-1.$$

Значит,

$$\tg 3x=-4 \quad \text{или} \quad \tg 3x=-1.$$

Отсюда

$$x=-\frac{1}{3}\arctg 4+\frac{\pi n}{3},\qquad x=-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{3},\qquad n\in\mathbb{Z}.$$

Ответ

а) $$x=-\arctg 2+\pi n,\ \frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z};$$
б) $$x=-\frac{1}{3}\arctg 3+\frac{\pi n}{3},\ -\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{3},\ n\in\mathbb{Z};$$
в) $$x=-\arctg 3+\pi n,\ \frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z};$$
г) $$x=-\frac{1}{3}\arctg 4+\frac{\pi n}{3},\ -\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{3},\ n\in\mathbb{Z}.$$