Упр.26.28 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- а) $$2\sin^2(\pi+x)-5\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)+2=0$$;
- б) $$2\cos^2x+5\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)-4=0$$;
- в) $$2\cos^2x+\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)-1=0$$;
- г) $$5-5\sin 3(\pi-x)=\cos^2(\pi-3x)$$.
a) $$2\sin^2(\pi+x)-5\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)+2=0$$
$$2\sin^2 x+5\sin x+2=0$$
Пусть $$t=\sin x$$. Тогда
$$2t^2+5t+2=0$$
$$D=5^2-4\cdot 2\cdot 2=25-16=9$$
$$t_1=\frac{-5-3}{4}=-2,\qquad t_2=\frac{-5+3}{4}=-\frac12$$
Значение $$t_1=-2$$ не подходит, так как $$\sin x\in[-1;1]$$.
Остаётся
$$\sin x=-\frac12$$
$$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
б) $$2\cos^2 x+5\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)-4=0$$
$$2\cos^2 x+5\sin x-4=0$$
Пусть $$t=\sin x$$, тогда $$\cos^2 x=1-\sin^2 x=1-t^2$$:
$$2(1-t^2)+5t-4=0$$
$$2t^2-5t+2=0$$
$$D=25-16=9$$
$$t_1=\frac{5-3}{4}=\frac12,\qquad t_2=\frac{5+3}{4}=2$$
Значение $$t_2=2$$ не подходит.
Тогда
$$\sin x=\frac12$$
$$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
в) $$2\cos^2 x+\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)-1=0$$
$$2\cos^2 x+\cos x-1=0$$
Пусть $$t=\cos x$$. Тогда
$$2t^2+t-1=0$$
$$D=1+8=9$$
$$t_1=\frac{-1-3}{4}=-1,\qquad t_2=\frac{-1+3}{4}=\frac12$$
1) $$\cos x=-1$$, значит
$$x=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
2) $$\cos x=\frac12$$, значит
$$x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
г) $$5-5\sin 3(\pi-x)=\cos^2(\pi-3x)$$
$$5-5\sin(3\pi-3x)=\cos^2(3x)$$
$$\sin(3\pi-3x)=\sin 3x,\qquad \cos(\pi-3x)=-\cos 3x$$
Тогда
$$5-5\sin 3x=\cos^2 3x$$
$$5-5\sin 3x=1-\sin^2 3x$$
$$\sin^2 3x-5\sin 3x+4=0$$
Пусть $$t=\sin 3x$$. Тогда
$$t^2-5t+4=0$$
$$D=25-16=9$$
$$t_1=1,\qquad t_2=4$$
Значение $$t_2=4$$ не подходит.
Следовательно,
$$\sin 3x=1$$
$$3x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z$$
Ответ
а) $$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
б) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
в) $$x=\pi+2\pi n,\ \pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
г) $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z$$.
