Упр.26.27 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$3\sin^2\frac{x}{2}+\sin\frac{x}{2}\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{x}{2}\right)=2$$;

б) $$2\cos^2\frac{x}{2}-3\sin\left(\pi-\frac{x}{2}\right)\cos\left(2\pi-\frac{x}{2}\right)+7\sin^2\frac{x}{2}=3$$;

в) $$4\cos^2\left(\frac{\pi}{2}+x\right)+\sqrt{3}\sin\left(\frac{3\pi}{2}-x\right)\sin(\pi+x)+3\cos^2(\pi+x)=3$$;

г) $$3\sin^2\left(x-\frac{3\pi}{2}\right)-2\cos\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)\cos(\pi+x)+2\sin^2(x-\pi)=2$$.

а) $$3\sin^2\frac{x}{2}+\sin\frac{x}{2}\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{x}{2}\right)=2$$

Так как $$\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{x}{2}\right)=\cos\frac{x}{2},$$ получаем

$$3\sin^2\frac{x}{2}+\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}=2.$$

Перенесём всё в одну сторону и разделим на $$\cos^2\frac{x}{2}$$:

$$3\sin^2\frac{x}{2}+\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}-2=0,$$

$$\sin^2\frac{x}{2}+\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}-2\cos^2\frac{x}{2}=0,$$

$$\tg^2\frac{x}{2}+\tg\frac{x}{2}-2=0.$$

Пусть $$y=\tg\frac{x}{2}.$$ Тогда

$$y^2+y-2=0,$$

$$\left(y-1\right)\left(y+2\right)=0,$$

откуда $$y=1$$ или $$y=-2.$$

Следовательно,

$$\tg\frac{x}{2}=1 \Rightarrow \frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$

$$\tg\frac{x}{2}=-2 \Rightarrow \frac{x}{2}=-\arctg 2+\pi n \Rightarrow x=-2\arctg 2+2\pi n.$$

б) $$2\cos^2\frac{x}{2}-3\sin\left(\pi-\frac{x}{2}\right)\cos\left(2\pi-\frac{x}{2}\right)+7\sin^2\frac{x}{2}=3$$

Используем формулы:

$$\sin\left(\pi-\frac{x}{2}\right)=\sin\frac{x}{2}, \qquad \cos\left(2\pi-\frac{x}{2}\right)=\cos\frac{x}{2}.$$

Тогда

$$2\cos^2\frac{x}{2}-3\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}+7\sin^2\frac{x}{2}=3.$$

Переносим всё в одну сторону:

$$4\sin^2\frac{x}{2}-3\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}-\cos^2\frac{x}{2}=0.$$

Делим на $$\cos^2\frac{x}{2}$$:

$$4\tg^2\frac{x}{2}-3\tg\frac{x}{2}-1=0.$$

Пусть $$y=\tg\frac{x}{2}.$$ Тогда

$$4y^2-3y-1=0,$$

$$D=9+16=25,$$

$$y_1=\frac{3-5}{8}=-\frac14,\qquad y_2=\frac{3+5}{8}=1.$$

Отсюда

$$\tg\frac{x}{2}=-\frac14 \Rightarrow x=-2\arctg\frac14+2\pi n,$$

$$\tg\frac{x}{2}=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+2\pi n.$$

в) $$4\cos^2\left(\frac{\pi}{2}+x\right)+\sqrt3\sin\left(\frac{3\pi}{2}-x\right)\sin(\pi+x)+3\cos^2(\pi+x)=3$$

Преобразуем тригонометрические функции:

$$\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=-\sin x,\qquad \sin\left(\frac{3\pi}{2}-x\right)=-\cos x,\qquad \sin(\pi+x)=-\sin x,\qquad \cos(\pi+x)=-\cos x.$$

Тогда

$$4\sin^2 x+\sqrt3\sin x\cos x+3\cos^2 x=3.$$

Переносим $$3$$ влево:

$$4\sin^2 x+\sqrt3\sin x\cos x+3\cos^2 x-3=0,$$

$$\sin^2 x+\sqrt3\sin x\cos x=0.$$

Делим на $$\cos^2 x$$:

$$\tg^2 x+\sqrt3\tg x=0,$$

$$\tg x\left(\tg x+\sqrt3\right)=0.$$

Следовательно,

$$\tg x=0 \Rightarrow x=\pi n,$$

$$\tg x=-\sqrt3 \Rightarrow x=-\frac{\pi}{3}+\pi n.$$

г) $$3\sin^2\left(x-\frac{3\pi}{2}\right)-2\cos\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)\cos(\pi+x)+2\sin^2(x-\pi)=2$$

Используем формулы:

$$\sin\left(x-\frac{3\pi}{2}\right)=\cos x,\qquad \cos\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)=\sin x,\qquad \cos(\pi+x)=-\cos x,\qquad \sin(x-\pi)=-\sin x.$$

Тогда

$$3\cos^2 x+2\sin x\cos x+2\sin^2 x=2.$$

Переносим $$2$$ влево:

$$3\cos^2 x+2\sin x\cos x+2\sin^2 x-2=0,$$

$$\cos^2 x+2\sin x\cos x=0.$$

Делим на $$\sin^2 x$$:

$$\ctg^2 x+2\ctg x=0,$$

$$\ctg x\left(\ctg x+2\right)=0.$$

Отсюда

$$\ctg x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$

$$\ctg x=-2 \Rightarrow \tg x=-\frac12 \Rightarrow x=-\arctg\frac12+\pi n.$$

Ответ: а) $$x=-2\arctg 2+2\pi n,\ \frac{\pi}{2}+2\pi n;$$ б) $$x=-2\arctg\frac14+2\pi n,\ \frac{\pi}{2}+2\pi n;$$ в) $$x=\pi n,\ -\frac{\pi}{3}+\pi n;$$ г) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ -\arctg\frac12+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$