Упр.26.25 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\cos\left(\frac{\pi}{2}-\frac{x}{2}\right)-3\cos\left(\pi-\frac{x}{2}\right)=0$$
б) $$\sqrt{3}\sin\left(\pi-\frac{x}{3}\right)+3\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{x}{3}\right)=0$$

а) $$\cos\left(\frac{\pi}{2}-\frac{x}{2}\right)-3\cos\left(\pi-\frac{x}{2}\right)=0.$$

Используем формулы приведения:

$$\sin\frac{x}{2}+3\cos\frac{x}{2}=0.$$

При $$\cos\frac{x}{2}\neq 0$$ разделим обе части на $$\cos\frac{x}{2}$$:

$$\tg\frac{x}{2}+3=0,$$

$$\tg\frac{x}{2}=-3.$$

Тогда

$$\frac{x}{2}=-\arctg 3+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$x=-2\arctg 3+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$\sqrt3\sin\left(\pi-\frac{x}{3}\right)+3\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{x}{3}\right)=0.$$

Приведём к более простому виду:

$$\sqrt3\sin\frac{x}{3}+3\cos\frac{x}{3}=0.$$

При $$\cos\frac{x}{3}\neq 0$$ разделим обе части на $$\cos\frac{x}{3}$$:

$$\sqrt3\,\tg\frac{x}{3}+3=0,$$

$$\tg\frac{x}{3}=-\sqrt3.$$

Следовательно,

$$\frac{x}{3}=-\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$x=-\pi+3\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ: а) $$x=-2\arctg 3+2\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$ б) $$x=-\pi+3\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$