Упр.26.24 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$\sin\left(\frac{\pi}{2}+2x\right)+\cos\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)=0$$; б) $$2\sin(\pi-3x)+\cos(2\pi-3x)=0$$.

а) $$\sin\left(\frac{\pi}{2}+2x\right)+\cos\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)=0$$

Используем формулы приведения:

$$\cos 2x+\sin 2x=0$$

Разделим обе части на $$\cos 2x$$:

$$1+\tg 2x=0$$

$$\tg 2x=-1$$

Тогда

$$2x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$

$$x=-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb{Z}$$

б) $$2\sin(\pi-3x)+\cos(2\pi-3x)=0$$

Приведём к более простому виду:

$$2\sin 3x+\cos 3x=0$$

Разделим обе части на $$\cos 3x$$:

$$2\tg 3x+1=0$$

$$\tg 3x=-\frac{1}{2}$$

Следовательно,

$$3x=\arctg\left(-\frac{1}{2}\right)+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$

$$x=-\frac{1}{3}\arctg\frac{1}{2}+\frac{\pi n}{3},\quad n\in\mathbb{Z}$$

Ответ: а) $$x=-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb{Z}$$; б) $$x=-\frac{1}{3}\arctg\frac{1}{2}+\frac{\pi n}{3},\ n\in\mathbb{Z}$$.