Упр.26.22 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$5\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)-\sin\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)-8\cos(2\pi-x)=1$$; б) $$\sin(2\pi+x)-\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)+\sin(\pi-x)=1$$.

а) $$5\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)-\sin\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)-8\cos(2\pi-x)=1.$$

Используем формулы приведения:

$$\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\cos x,\qquad \sin\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)=-\cos x,\qquad \cos(2\pi-x)=\cos x.$$

Тогда

$$5\cos x-(-\cos x)-8\cos x=1,$$

$$-2\cos x=1,$$

$$\cos x=-\frac12.$$

Отсюда

$$x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$\sin(2\pi+x)-\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)+\sin(\pi-x)=1.$$

Используем формулы приведения:

$$\sin(2\pi+x)=\sin x,\qquad \cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x,\qquad \sin(\pi-x)=\sin x.$$

Тогда

$$\sin x-\sin x+\sin x=1,$$

$$\sin x=1.$$

Следовательно,

$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$ б) $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$