Упр.26.21 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Решите уравнение:

а) $$2\cos(2\pi+x)+\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=3$$;

б) $$\sin(\pi+x)+2\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=3$$;

в) $$2\sin(\pi+x)+\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=-\frac{1}{2}$$;

г) $$3\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)-\cos(2\pi+x)=1$$.

Используем формулы приведения:

$$\cos(2\pi+x)=\cos x,\quad \sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\cos x,$$

$$\sin(\pi+x)=-\sin x,\quad \cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=-\sin x,$$

$$\sin(\pi+x)=-\sin x,\quad \cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x,$$

$$\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\cos x,\quad \cos(2\pi+x)=\cos x.$$

Ход решения

1. $$2\cos(2\pi+x)+\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=3$$

   $$2\cos x+\cos x=3$$

   $$3\cos x=3$$

   $$\cos x=1$$

   $$x=2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

2. $$\sin(\pi+x)+2\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=3$$

   $$-\sin x-2\sin x=3$$

   $$-3\sin x=3$$

   $$\sin x=-1$$

   $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

3. $$2\sin(\pi+x)+\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=-\frac12$$

   $$-2\sin x+\sin x=-\frac12$$

   $$-\sin x=-\frac12$$

   $$\sin x=\frac12$$

   $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

4. $$3\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)-\cos(2\pi+x)=1$$

   $$3\cos x-\cos x=1$$

   $$2\cos x=1$$

   $$\cos x=\frac12$$

   $$x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Ответ

а) $$x=2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$; б) $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$; в) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$; г) $$x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$$